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Em uma campanha de prevenção realizada em uma cidade brasileira, um teste diagnóstico foi aplicado a pessoas…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT511

Reconhecer a existência de diferentes tipos de espaços amostrais, discretos ou não, e de eventos, equiprováveis ou não, e investigar implicações no cálculo de probabilidades.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Em uma campanha de prevenção realizada em uma cidade brasileira, um teste diagnóstico foi aplicado a pessoas escolhidas aleatoriamente. A doença está presente em 1% da população. Quando a pessoa tem a doença, o teste apresenta resultado positivo em 95% dos casos. Quando a pessoa não tem a doença, o teste apresenta resultado negativo em 90% dos casos. Com base nesses dados, determine a probabilidade de uma pessoa realmente ter a doença, dado que seu teste apresentou resultado positivo, e avalie se os eventos “ter a doença” e “obter resultado positivo” são independentes.

A) P(D|+) = 0,01, ou 1%. Os eventos não são independentes, pois P(+|D) = 0,95 e P(+|Dc) = 0,10 são diferentes.
B) P(D|+) = 0,95, ou 95%. Os eventos não são independentes, pois P(+|D) = 0,95 e P(+|Dc) = 0,10 são diferentes.
C) P(D|+) = 0,50, ou 50%. Os eventos são independentes, pois a especificidade de 90% torna o teste confiável.
D) P(D|+) = 0,0095, ou 0,95%. Os eventos não são independentes, pois P(+|D) = 0,95 e P(+|Dc) = 0,10 são diferentes.
E) P(D|+) ≈ 0,0876, ou 8,76%. Os eventos não são independentes, pois P(+|D) = 0,95 e P(+|Dc) = 0,10 são diferentes.

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

Organize os dados. P(D) = 0,01 (doença), P(Dc) = 0,99. P(+|D) = 0,95 (sensibilidade). Como o teste negativo ocorre em 90% dos não doentes, P(-|Dc) = 0,90 e, portanto, P(+|Dc) = 0,10 (taxa de falso positivo).
Calcule a probabilidade de resultado positivo pela lei da probabilidade total. P(+) = P(+|D)·P(D) + P(+|Dc)·P(Dc) = 0,95·0,01 + 0,10·0,99 = 0,0095 + 0,099 = 0,1085.
Aplique o teorema de Bayes. P(D|+) = P(+|D)·P(D) / P(+) = 0,0095 / 0,1085 ≈ 0,0876, ou seja, cerca de 8,76%. Esse valor coincide com a alternativa E, que é a correta, e por isso concordo com o gabarito oficial.
Verifique a independência. Dois eventos são independentes quando P(D|+) = P(D). Aqui P(D|+) ≈ 0,0876, enquanto P(D) = 0,01. Além disso, P(+|D) = 0,95 é diferente de P(+|Dc) = 0,10. Logo, os eventos não são independentes: saber que o teste deu positivo muda a probabilidade de a pessoa ter a doença.
Por que as outras estão erradas. A: 0,01 é a probabilidade a priori P(D), que ignora a informação do teste. B: 0,95 é a sensibilidade P(+|D), que é a probabilidade inversa e confunde a condição com o evento. C: 0,50 não resulta de nenhum cálculo válido, e a especificidade alta não torna os eventos independentes. D: 0,0095 é a probabilidade conjunta P(D e +), que esqueceu de dividir por P(+) = 0,1085.

💡 Dica: Utilize o Teorema de Bayes para calcular P(D|+).

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Conceituala que mais engana

O aluno assume que a probabilidade pedida é simplesmente a prevalência da doença na população, ignorando que o resultado positivo do teste deve ser incorporado ao cálculo.

Por que engana: Confundir a alta sensibilidade do teste com a probabilidade de ter a doença, levando a uma estimativa incorreta de P(D|+).

B Erradaerro: Conceitual

O aluno confunde P(+|D), a sensibilidade do teste, com P(D|+), a probabilidade de doença dado o positivo, inverte a condição e trata as duas probabilidades como iguais.

C Erradaerro: Senso comum

O aluno acredita que um teste com especificidade de 90% é confiável o suficiente para tornar o resultado independente da doença, e chuta 50% sem aplicar o teorema de Bayes.

D Erradaerro: Procedimental

O aluno calcula corretamente a probabilidade conjunta P(D e +) = 0,0095, mas esquece de dividir por P(+) = 0,1085, que é a probabilidade condicional exigida.

E Correta

A sensibilidade fornece P(+|D) = 0,95. A especificidade é P(-|Dc) = 0,90, portanto P(+|Dc) = 0,10. Pela regra da probabilidade total, P(+) = 0,95 · 0,01 + 0,10 · 0,99 = 0,1085. Assim, pelo teorema de Bayes, P(D|+) = [0,95 · 0,01] / 0,1085 ≈ 0,0876. Para haver independência, seria necessário que P(+|D) = P(+|Dc), o que não ocorre.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Avaliar

Leitura alto

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 desafio

🎯 Conceito central

Teorema de Bayes

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

teorema de Bayes · probabilidade condicional

📚 Reveja

Revisar conceitos de probabilidade condicional e independência de eventos.

⚠️ Erro mais comum

Confundir a alta sensibilidade do teste com a probabilidade de ter a doença, levando a uma estimativa incorreta de P(D|+).

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

cientifico

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