Numa turma de 120 alunos, 70 participam do clube de ciência, 40 do clube de música e 25 participam de ambos…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer a existência de diferentes tipos de espaços amostrais, discretos ou não, e de eventos, equiprováveis ou não, e investigar implicações no cálculo de probabilidades.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Numa turma de 120 alunos, 70 participam do clube de ciência, 40 do clube de música e 25 participam de ambos. Um aluno é escolhido ao acaso. a) Os eventos S = “participa do clube de ciência” e M = “participa do clube de música” são independentes? b) Compare P(SnM) e P(S)·P(M).
- A) Os eventos são independentes; P(S)·P(M) = 25/120 × 25/120 = 0,5.
- B) Dependentes; P(SnM)=25/120=5/24˜0,2083 enquanto P(S)·P(M)=(70/120)·(40/120)=7/36˜0,1944 (não iguais).
- C) P(SnM) = 45/120; P(S)·P(M) = 80/120.
- D) P(SnM) = 25/120; P(S)·P(M) = 70/120; são iguais.
- E) Os eventos são dependentes, mas P(S)·P(M) = (70/120)·(40/120) = 0,25.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Calcule as probabilidades individuais. P(S) = 70/120 = 7/12 (aproximadamente 0,5833) e P(M) = 40/120 = 1/3 (aproximadamente 0,3333).
- Calcule a probabilidade da interseção. Como 25 alunos participam de ambos os clubes, P(S∩M) = 25/120 = 5/24 (aproximadamente 0,2083).
- Calcule o produto P(S)·P(M) = (70/120)·(40/120) = 2800/14400 = 7/36 (aproximadamente 0,1944).
- Responda a letra a). Dois eventos são independentes quando P(S∩M) = P(S)·P(M). Como 0,2083 é diferente de 0,1944, os eventos são dependentes. Intuitivamente, quem participa do clube de música tem mais chance de participar do clube de ciência do que um aluno qualquer, o que indica dependência.
- Responda a letra b). Comparando os valores, P(S∩M) = 25/120 é maior que P(S)·P(M) = 70/120·40/120 = 7/36, pois 5/24 é maior que 7/36.
- Analise as alternativas erradas. A afirma independência usando 25/120 no lugar de 70/120 e 40/120, e o resultado 0,5 é impossível para esse cálculo. C inventa valores errados para a interseção (45/120) e para o produto (80/120). D diz que os valores são iguais, o que é falso, e usa 70/120 como se fosse o produto. E acerta que os eventos são dependentes, mas calcula o produto como 0,25, quando o correto é aproximadamente 0,1944.
- Gabarito oficial B confere com a resolução feita de forma independente.
💡 Dica: Calcule as probabilidades e verifique se P(S∩M)=P(S)·P(M).
Alternativa por alternativa
O aluno multiplica a interseção 25/120 por ela mesma, em vez de multiplicar as probabilidades individuais 70/120 e 40/120, e por isso conclui erradamente que os eventos são independentes. Também chega ao valor impossível 0,5 como produto de probabilidades.
Independência exige P(SnM)=P(S)P(M); aqui 5/24 ? 7/36, portanto são dependentes.
O aluno confunde interseção com diferença de conjuntos, obtendo 45/120 (70 menos 25), e confunde o produto de probabilidades com a soma 80/120 (40 mais 40). Não entende que P(S∩M) é 25/120 e que o produto é multiplicação.
O aluno acredita que P(S)·P(M) é igual a P(S), tomando 70/120 como o produto, e por isso afirma que os valores são iguais. Ele confunde a probabilidade de um evento com o produto de dois eventos.
O aluno acerta que os eventos são dependentes, mas calcula mal o produto (70/120)·(40/120), obtendo 0,25 em vez de aproximadamente 0,1944. Provavelmente houve erro de multiplicação ou de arredondamento.
Por que engana: Confundir a probabilidade da interseção com o produto das probabilidades e concluir independência sem comparar corretamente os dois valores.
Raio-X da questão
Independência de eventos probabilísticos
avaliacao
Cálculo de probabilidades simples · Interseção entre eventos
Revise a definição de eventos independentes e o cálculo de probabilidades em espaços amostrais equiprováveis.
Confundir a probabilidade da interseção com o produto das probabilidades e concluir independência sem comparar corretamente os dois valores.
tomada_decisao
abstrato
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