Em uma pesquisa com 200 pessoas, 120 gostam de futebol, 90 gostam de cinema e 60 gostam de ambos. Escolhe-se…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer a existência de diferentes tipos de espaços amostrais, discretos ou não, e de eventos, equiprováveis ou não, e investigar implicações no cálculo de probabilidades.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma pesquisa com 200 pessoas, 120 gostam de futebol, 90 gostam de cinema e 60 gostam de ambos. Escolhe-se uma pessoa ao acaso. Seja A = 'gosta de futebol' e B = 'gosta de cinema'. Quais são P(A), P(B) e P(B|A), e A e B são independentes?
- A) P(A) = 0,6; P(B) = 0,45; P(B|A) = 0,45; independentes.
- B) P(A) = 0,6; P(B) = 0,45; P(B|A) = 0,5; dependentes.
- C) P(A) = 0,6; P(B) = 0,45; P(B|A) = 0,3; dependentes.
- D) P(A) = 0,45; P(B) = 0,6; P(B|A) = 0,5; dependentes.
- E) P(A) = 0,6; P(B) = 0,45; P(B|A) = 0,5; independentes.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- P(A) é a proporção de pessoas que gostam de futebol. Como são 120 em 200, P(A) = 120/200 = 0,6.
- P(B) é a proporção de pessoas que gostam de cinema. Como são 90 em 200, P(B) = 90/200 = 0,45.
- P(A e B) é a proporção de pessoas que gostam dos dois. Como são 60 em 200, P(A e B) = 60/200 = 0,3.
- P(B|A) é a probabilidade de gostar de cinema sabendo que a pessoa gosta de futebol. O espaço amostral passa a ser só as 120 pessoas que gostam de futebol, e dentre elas 60 gostam de cinema. Logo P(B|A) = 60/120 = 0,3/0,6 = 0,5.
- Dois eventos são independentes quando P(B|A) = P(B), ou equivalentemente P(A e B) = P(A) x P(B). Aqui P(A) x P(B) = 0,6 x 0,45 = 0,27, que é diferente de 0,3. Como P(B|A) = 0,5 é diferente de P(B) = 0,45, os eventos são dependentes.
- Concluo que a alternativa correta é a B, que coincide com o gabarito oficial. A alternativa A está errada porque afirma independência, e a alternativa E também, pelo mesmo motivo, além de ter P(B|A) correto. A alternativa C está errada porque P(B|A) = 0,3 é a probabilidade de gostar dos dois em relação ao total, e não em relação às pessoas que gostam de futebol. A alternativa D está errada porque troca os valores de P(A) e P(B).
💡 Dica: Calcule as probabilidades simples e condicional; compare P(B|A) com P(B) para testar independência.
Alternativa por alternativa
O aluno confunde P(B|A) com P(B): calcula P(B|A) como 0,45, que é a proporção geral de quem gosta de cinema, e conclui que os eventos são independentes sem comparar corretamente os valores.
P(A) = 120/200 = 0,6; P(B) = 90/200 = 0,45; P(B|A) = P(A∩B)/P(A) = 60/120 = 0,5. Como 0,5 ≠ 0,45, A e B são dependentes.
O aluno calcula P(B|A) dividindo a interseção pelo total de pessoas (60/200 = 0,3) em vez de dividir pelo total de quem gosta de futebol (60/120).
Por que engana: Confundir P(B|A) com P(A∩B), usando 60/200 em vez de dividir os 60 casos de ambos pelos 120 que gostam de futebol.
O aluno inverte os eventos ao ler o enunciado, atribuindo 0,45 a P(A) e 0,6 a P(B), embora futebol seja o evento A com 120 pessoas e cinema o evento B com 90 pessoas.
O aluno calcula corretamente P(B|A) = 0,5, mas acredita que a independência vale quando a probabilidade condicional é diferente da marginal, ou não verifica se P(B|A) = P(B) antes de afirmar independência.
Raio-X da questão
Probabilidade condicional e independência
avaliacao
Razão entre casos favoráveis e possíveis · Interseção de eventos
Revise probabilidade simples, probabilidade condicional e o critério de independência entre eventos.
Confundir P(B|A) com P(A∩B), usando 60/200 em vez de dividir os 60 casos de ambos pelos 120 que gostam de futebol.
tomada_decisao
cotidiano
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