Escolhe-se uniformemente um ponto em um quadrado de lado 2 m; a metade esquerda (x ? [0,1]) é azul e a direita…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Identificar, em eventos familiares aleatórios, todos os resultados possíveis, estimando os que têm maiores ou menores chances de ocorrência.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Escolhe-se uniformemente um ponto em um quadrado de lado 2 m; a metade esquerda (x ? [0,1]) é azul e a direita é vermelha. Em seguida lança-se um dado justo. Seja A = 'o ponto está na região azul' e B = 'o dado mostra 5'. A e B são independentes? Quanto vale P(AnB)?
- A) Sim; P(A∩B)=1/12.
- B) Sim; P(A∩B)=1/8.
- C) Sim; P(A∩B)=1/3.
- D) Sim; P(A∩B)=1/6.
- E) Não; P(A∩B)=1/4.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- O quadrado tem lado 2 m, logo área 4 m². A metade esquerda, com x pertencente a [0,1], tem área 1 x 2 = 2 m². Assim, P(A) = 2/4 = 1/2, pois o ponto é escolhido uniformemente. Passo 2: O dado é justo com 6 faces, então P(B) = 1/6, já que apenas uma face mostra 5. Passo 3: Os dois experimentos são distintos e não se influenciam: a posição do ponto no quadrado não altera o resultado do dado, e o dado não altera a região do ponto. Logo A e B são independentes. Passo 4: Para eventos independentes, P(A∩B) = P(A) x P(B) = 1/2 x 1/6 = 1/12. Passo 5: Verificação da independência: P(A∩B) = P(A) x P(B) = 1/12, o que confirma a resposta. Passo 6: Por que as outras estão erradas: na B, 1/8 resulta de um cálculo com P(B) incorreta (1/4), que não corresponde a um dado de 6 faces; na C, 1/3 é o resultado de tratar P(B) como 2/6 sem base no enunciado; na D, 1/6 seria verdadeiro apenas se A tivesse probabilidade 1, ou seja, se ignorássemos a restrição da região azul; na E, a resposta de dependência não se sustenta, pois os experimentos são independentes e 1/4 não é o produto correto. Passo 7: Conclusão: A e B são independentes e P(A∩B) = 1/12, alternativa A, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Calcule as probabilidades de A e B e multiplique-as para obter a interseção, verificando a independência.
Alternativa por alternativa
A chance de o ponto estar na parte azul é 1/2. A chance de sair 5 no dado é 1/6. Como uma escolha não muda a outra, multiplicamos as chances: 1/2 × 1/6 = 1/12.
O aluno provavelmente atribuiu ao dado uma probabilidade de 1/4 para o número 5 ou multiplicou 1/2 por 1/4, tratando a face 5 como se tivesse probabilidade maior que a de um dado justo.
O aluno provavelmente tomou P(B) como 2/6 ou 1/3 sem justificativa, misturando a face 5 com outra face ou confundindo a fração com a de outro evento.
O aluno provavelmente igualou P(A∩B) a P(B), ignorando que o evento A restringe a região do ponto e que a interseção deve incluir a probabilidade de A.
Por que engana: Confundir a proporção da área azul com a área absoluta do quadrado ou somar as probabilidades em vez de multiplicá-las para encontrar a interseção de eventos independentes.
O aluno provavelmente acreditou que o resultado do dado depende da posição do ponto no quadrado, usando a intuição de que eventos aleatórios próximos se influenciam, e calculou 1/4 sem o produto correto.
Raio-X da questão
Independência de eventos
avaliacao
Cálculo de probabilidades simples · Área de figuras planas
Revise probabilidade geométrica, eventos independentes e a regra P(A∩B)=P(A)P(B).
Confundir a proporção da área azul com a área absoluta do quadrado ou somar as probabilidades em vez de multiplicá-las para encontrar a interseção de eventos independentes.
tomada_decisao
abstrato
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