Uma urna contém x bolas vermelhas e 6 bolas azuis. Retiram-se duas bolas sem reposição. Para qual valor de x…

Questão

Uma urna contém x bolas vermelhas e 6 bolas azuis. Retiram-se duas bolas sem reposição. Para qual valor de x os eventos A = "primeira é vermelha" e B = "segunda é vermelha" são independentes? Explique algebricamente.

1. A) A e B são independentes se x > 6, já que mais vermelhas garantem a independência.
2. B) Não existe valor x=1 que torne A e B independentes (com 6 azuis); independência ocorre só se não houver bolas azuis.
3. C) Para x = 0, A e B são independentes, pois não há bolas vermelhas.
4. D) Com 6 azuis, A e B sempre são independentes para qualquer x.
5. E) A e B podem ser independentes com x = 1, já que apenas uma bola não afeta a segunda.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Seja x o número de bolas vermelhas. Com 6 azuis, a urna tem x + 6 bolas. Na primeira retirada, P(A) = x/(x+6). Como não há informação sobre a primeira bola, a segunda tem a mesma probabilidade de ser vermelha, logo P(B) = x/(x+6). Passo 2: Se a primeira for vermelha, restam x-1 vermelhas em x+5 bolas, então P(A e B) = x(x-1)/((x+6)(x+5)). Passo 3: Independência exige P(A e B) = P(A) x P(B), ou seja, x(x-1)/((x+6)(x+5)) = x^2/(x+6)^2. Passo 4: Se x for diferente de 0, podemos dividir ambos os lados por x e multiplicar por (x+6)^2(x+5). Obtemos (x-1)(x+6) = x(x+5), que resulta em x^2+5x-6 = x^2+5x, ou seja, -6 = 0, o que é impossível. Portanto, nenhum x positivo torna A e B independentes. Passo 5: Para x = 0 não há bolas vermelhas, então P(A) = P(B) = P(A e B) = 0, e a igualdade 0 = 0 x 0 é verdadeira. Logo A e B são independentes, o que corresponde à alternativa C. Passo 6: Alternativa A: ter mais vermelhas não garante independência, pois a retirada sem reposição altera a composição da urna. Alternativa B: a condição não é ausência de azuis; o que impede a independência para x positivo é a dependência criada pela retirada sem reposição. Alternativa D: com 6 azuis a independência não ocorre para qualquer x, pois o cálculo mostra que, para x positivo, a igualdade nunca se verifica. Alternativa E: remover uma bola altera a composição da urna, de modo que a segunda probabilidade muda; com x = 1, P(A e B) = 0 é diferente de P(A) x P(B) = 1/49.

💡 Dica: Utilize a definição de eventos independentes para resolver a questão.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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