De 6 alunos escolhe-se aleatoriamente uma dupla (sem ordem). Seja A = "aluno 1 é escolhido" e B = "aluno 2 é…

Questão

De 6 alunos escolhe-se aleatoriamente uma dupla (sem ordem). Seja A = "aluno 1 é escolhido" e B = "aluno 2 é escolhido". Determine se A e B são independentes, calculando P(A), P(B) e P(AnB).

1. A) A e B são dependentes; P(A)=P(B)=1/3, P(AnB)=1/15 ? P(A)P(B)=1/9.
2. B) A e B são independentes; P(A) = P(B) = 1/2.
3. C) A e B são dependentes, mas P(A) = 1/2, P(B) = 1/3.
4. D) Total de alunos não importa; A e B sempre serão independentes em qualquer escolha.
5. E) P(AnB) = 1/3, pois escolher dois alunos aumenta a probabilidade de ambos.

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Como a dupla é escolhida sem ordem e ao acaso, o número de duplas possíveis de 6 alunos é C(6,2) = 6·5/2 = 15, e cada dupla tem probabilidade 1/15. Passo 2: P(A) é a probabilidade de o aluno 1 estar na dupla. As duplas que contêm o aluno 1 são as 5 formadas por ele e um dos outros 5 alunos, então P(A) = 5/15 = 1/3. Passo 3: Pelo mesmo raciocínio, P(B) = 5/15 = 1/3. Passo 4: P(A e B) é a probabilidade de os alunos 1 e 2 estarem juntos na dupla. Existe apenas uma dupla assim, a {1, 2}, então P(A e B) = 1/15. Passo 5: Para haver independência seria preciso que P(A e B) = P(A)·P(B). Aqui P(A)·P(B) = 1/3 · 1/3 = 1/9, que é diferente de 1/15. Logo A e B são dependentes, o que confirma a alternativa A, que coincide com o gabarito oficial. Passo 6: A alternativa B está errada, pois P(A) = 1/2 ignora que há 15 duplas possíveis, e a conclusão de independência não se sustenta. Passo 7: A alternativa C está errada, pois P(A) e P(B) deveriam ser iguais, já que os alunos 1 e 2 têm exatamente as mesmas chances de serem escolhidos. Passo 8: A alternativa D está errada, pois o total de alunos muda as probabilidades e a independência depende dos valores calculados. Passo 9: A alternativa E está errada, pois escolher dois alunos não aumenta a chance de um par específico; P(A e B) = 1/15, não 1/3.

💡 Dica: Calcule as probabilidades e verifique a independência.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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