Uma barra semi-infinita do material está inicialmente a Ti = 20 °C. Em t = 0 a superfície x = 0 é mantida em…

Questão

Uma barra semi-infinita do material está inicialmente a Ti = 20 °C. Em t = 0 a superfície x = 0 é mantida em Ts = 120 °C. Após t = 60 s a temperatura medida em x = 0,010 m é T = 70,0 °C (incerteza ±0,5 °C). Usando a solução analítica T(x,t)=Ti+(Ts-Ti)·erfc( x/(2v(a t)) ), determine a (m²·s?¹). Apresente cálculos, valor numérico com unidade, estimativa da incerteza e um breve gráfico qualitativo de ? versus ?, onde ?=(T-Ti)/(Ts-Ti) e ?= x/(2v(a t)).

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Defina ?=(T-Ti)/(Ts-Ti). Com dados: Ti=20 °C, Ts=120 °C, T=70,0 °C ? ?=50/100=0,50. 2) Use erfc: ? = erfc(?) com ? = x/(2v(a t)). Então ? = erfc?¹(0,50) ˜ 0,4769. 3) Resolva para a: a = [x/(2?)]² / t = [0,010/(2·0,4769)]² / 60 s ˜ 1,84×10?6 m²·s?¹. 4) Estime incerteza: dT=±0,5 °C ? d?=±0,005. Usando dz/d? = vp/2·e^{?²} ˜1,112 ? d? ˜1,112·0,005=0,00556. Como a?1/?², da/a ˜2·(d?/?) ˜2·0,00556/0,4769 ˜0,023 ? ±2,3%. Logo a=(1,84±0,04)×10?6 m²·s?¹. 5) Gráfico qualitativo: curva decrescente de ?(?)=erfc(?) com ?(0)=1, ?(8)=0; marque o ponto (?=0,4769, ?=0,5). Inclua unidades: a em m²·s?¹, x em m, t em s.

Explicação

A solução utiliza a função erfc para relacionar a temperatura medida com a posição e o tempo, permitindo calcular a diffusividade do material. A incerteza é estimada com base na variação da temperatura e na derivada da função erfc, garantindo que o resultado final inclua uma margem de erro. O gráfico qualitativo ilustra a relação entre as variáveis, destacando o comportamento da função erfc e o ponto correspondente à condição do problema.

Raio-X da questão

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