Explique e deduza a expressão do período orbital T de uma órbita circular T = 2p·v(r^3/(G·M)). Em seguida…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Explique e deduza a expressão do período orbital T de uma órbita circular T = 2p·v(r^3/(G·M)). Em seguida, calcule T (s) para um satélite a h = 800 km sobre um planeta com massa M = 4,00×10^24 kg e raio R = 6,00×10^6 m (use G = 6,67×10^-11 N·m^2/kg^2). Discuta as hipóteses físicas feitas e como T mudaria se M dobrasse.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Para órbita circular, força gravitacional fornece a aceleração centrípeta: GMm/r^2 = m·v^2/r ? v = v(GM/r). O período é T = 2pr/v ? T = 2p·v(r^3/(GM)). Aqui r = R + h = 6,00×10^6 + 8,00×10^5 = 6,80×10^6 m. Calcule r^3 = (6,80×10^6)^3 ˜ 3,144×10^20 m^3. GM = 6,67×10^-11·4,00×10^24 = 2,668×10^14 m^3/s^2. Então T = 2p·v(3,144×10^20 / 2,668×10^14) = 2p·v(1,179×10^6) ˜ 2p·1086,6 ˜ 6,826 s ˜ 1,90 h. Hipóteses: massa do satélite desprezível frente à do planeta; planeta esférico e massa concentrada; órbita sem resistência atmosférica. Se M dobrasse, T reduzir-se-ia por fator 1/v2 (T_new = T/v2), pois T ? 1/vM.
Explicação
A dedução da expressão do período orbital T baseia-se na igualdade entre a força gravitacional e a força centrípeta, levando à relação entre a velocidade orbital e a distância do centro do planeta. O cálculo do período para o satélite considera a soma do raio do planeta e a altura da órbita, além de aplicar a constante gravitacional e a massa do planeta. As hipóteses físicas garantem que a massa do satélite não influencia a gravidade do planeta, e a alteração na massa do planeta impactaria o período orbital de forma inversamente proporcional à raiz quadrada da massa.
Raio-X da questão
período orbital
avaliacao
lei da gravitação universal · movimento circular
Revisar a lei da gravitação universal e o movimento circular.
O aluno pode confundir a relação entre a massa do planeta e o período orbital, não considerando que o período depende da raiz cúbica do raio da órbita.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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