Considere um gnômon vertical de altura h = 1,00 m em latitude f = 25,0°N. A declinação solar é d = 10,0°N…

Questão

Considere um gnômon vertical de altura h = 1,00 m em latitude f = 25,0°N. A declinação solar é d = 10,0°N. Adote ângulos em rad quando necessário (1° = p/180 rad). (a) Deduzir, em função do ângulo horário H (rad), as equações paramétricas x(H), y(H) da posição do ponto sombra sobre o plano horizontal, com x apontando para leste (m) e y para o norte (m). Use vetores unitários e expresse em termos de f, d, H e h. (b) Calcule numericamente (x,y) para H = -45°, 0° e +45°. (c) Descreva qualitativamente a trajetória do ponto sombra ao longo do dia.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Modelo de resposta: 1) Direção unitária do Sol no sistema local (x leste, y norte, z cima): s_x = cosd · sinH s_y = cosd · cosH · sinf - sind · cosf s_z = sind · sinf + cosd · cosH · cosf (com f, d, H em rad). 2) Interseção do raio solar que parte do topo (0,0,h) com o plano z=0: t = -h/s_z. Assim a posição do ponto sombra é x(H) = t·s_x = -h·(cosd·sinH)/s_z (m) y(H) = t·s_y = -h·(cosd·cosH·sinf - sind·cosf)/s_z (m) onde s_z dado acima e h em metros. 3) Cálculo numérico: converter ângulos para rad (°?rad = p/180). Dados: h=1, f=25,0° ? sinf=0,42262, cosf=0,90631; d=10,0° ? sind=0,17365, cosd=0,98481. - Para H=-45°: sinH=-0,70711; cosH=0,70711. s_x=-0,69636; s_y=0,13724; s_z=0,70453. x=-1·(-0,69636)/0,70453 = +0,988 m (leste) y=-1·(0,13724)/0,70453 = -0,195 m (sul) - Para H=0°: sinH=0; cosH=1. s_x=0; s_y=0,25940; s_z=0,96585. x=0,000 m y=-0,25940/0,96585 = -0,269 m (sul) - Para H=+45°: sinH=+0,70711; cosH=0,70711. s_x=+0,69636; s_y=0,13724; s_z=0,70453. x=-0,69636/0,70453 = -0,988 m (oeste) y=-0,13724/0,70453 = -0,195 m (sul) (resultados com três algarismos significativos; unidades em metros). 4) Trajetória qualitativa: o ponto sombra descreve uma curva contínua no plano horizontal, simétrica em relação ao meridiano local (linha sul-norte). No exemplo os pontos formam um arco disposto ao sul do gnômon (y<0), com deslocamento leste–oeste crescente em módulo afastando-se do meridiano conforme |H| aumenta. A curva é suave e não é um círculo; sua forma resulta da projeção geométrica do vetor solar sobre o plano horizontal, conforme as equações acima.

Explicação

A dedução das equações paramétricas para a posição do ponto sombra baseia-se na representação vetorial da direção do Sol em relação ao gnômon e à interseção desse vetor com o plano horizontal. Os cálculos numéricos demonstram como a posição do ponto sombra varia com o ângulo horário, refletindo a trajetória do Sol ao longo do dia. A descrição qualitativa da trajetória ressalta a simetria e a forma curva do movimento do ponto sombra, que resulta das projeções geométricas dos vetores solares.

Raio-X da questão

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