Em um experimento de eletrostática, uma haste isolante carregada é usada para modelar a distribuição…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Avaliar os benefícios e os riscos à saúde e ao ambiente, considerando a composição, a toxicidade e a reatividade de diferentes materiais e produtos, como também o nível de exposição a eles, posicionando-se criticamente e propondo soluções individuais e/ou coletivas para seus usos e descartes responsáveis.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um experimento de eletrostática, uma haste isolante carregada é usada para modelar a distribuição aproximadamente uniforme de carga em um sensor. A haste tem comprimento L = 0,50 m e densidade linear de carga ? = +1,0 × 10^-6 C/m. Um ponto P está situado sobre o prolongamento do eixo da haste, a uma distância a = 0,25 m da extremidade mais próxima. Considere a haste como um segmento retilíneo contínuo de carga e adote V(8) = 0, com k = 9,0 × 10^9 N·m²/C². Com base no modelo descrito, qual é o potencial elétrico no ponto P?
- A) V = kλ(1/a − 1/(a + L)) = 2,4 × 10^4 V.
- B) V = kλ ln((a + L)/a) ≈ 9,9 × 10^3 V.
- C) V = kλ ln(L/a) ≈ 6,2 × 10^3 V.
- D) V = kλL/(a + L/2) = 9,0 × 10^3 V.
- E) V = kλL/a = 1,8 × 10^4 V.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Identifique o modelo. A haste tem comprimento L = 0,50 m, densidade linear λ = 1,0 × 10^-6 C/m e o ponto P está sobre o prolongamento do eixo, a a = 0,25 m da extremidade mais próxima. Assim, a distância do ponto P até a extremidade distante é a + L = 0,75 m.
- Escreva o potencial de um elemento de carga. Um elemento dq = λ dx, situado a uma distância x do ponto P, produz dV = k dq / x = kλ dx / x.
- Integre ao longo da haste. Como x varia de a até a + L, temos V = kλ ∫ dx/x, de a até a + L, o que resulta em V = kλ ln((a + L)/a).
- Calcule. (a + L)/a = 0,75/0,25 = 3. Logo V = 9,0 × 10^9 × 1,0 × 10^-6 × ln 3 = 9,0 × 10^3 × 1,0986 ≈ 9,9 × 10^3 V.
- Compare com o gabarito. A resposta obtida coincide com a alternativa B, que é o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas. A usa a integral de 1/x^2, que dá o campo elétrico e não o potencial. C usa ln(L/a), que está com o argumento do logaritmo incorreto. D trata a haste como carga pontual no centro. E divide kλL pela distância mais próxima, o que não corresponde à integração correta.
💡 Dica: Utilize a fórmula do potencial elétrico para cargas lineares.
Alternativa por alternativa
O aluno integrou kλ dx/x^2, que corresponde ao campo elétrico, e não ao potencial. Ele confunde a expressão do campo com a do potencial.
Considere um elemento de carga dq = λ dx localizado a uma distância x da extremidade mais próxima de P. A distância entre esse elemento e P é a + x. Assim, dV = k dq/(a + x) = kλ dx/(a + x). Integrando de x = 0 até x = L, obtém-se V = kλ ∫_0^L dx/(a + x) = kλ ln((a + L)/a). Substituindo os valores: V = (9,0 × 10^9)(1,0 × 10^-6) ln((0,25 + 0,50)/0,25) = 9,0 × 10^3 ln(3) ≈ 9,9 × 10^3 V.
O aluno calculou a integral corretamente em forma de logaritmo, mas usou ln(L/a) em vez de ln((a + L)/a), tomando a distância final como L em vez de a + L.
O aluno tratou a haste como uma carga pontual localizada no centro, usando a distância a + L/2 e multiplicando pela carga total kλL. Não considerou que cada elemento está a uma distância diferente do ponto P.
O aluno supôs que o potencial pode ser calculado como se toda a carga estivesse à distância da extremidade mais próxima, usando kλL/a. Isso ignora a variação da distância ao longo da haste.
Raio-X da questão
potencial elétrico
avaliacao
cálculo de potencial elétrico · logaritmos e suas propriedades
Revisar a fórmula do potencial elétrico gerado por uma carga linear.
Confundir a fórmula do potencial elétrico, utilizando a distância errada ou a densidade de carga incorretamente.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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