Uma fonte emite fótons por pulso com distribuição de Poisson de média µ = 3,00 fótons/pulso. Um detector com…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Interpretar resultados e realizar previsões sobre atividades experimentais, fenômenos naturais e processos tecnológicos, com base nas noções de probabilidade e incerteza, reconhecendo os limites explicativos das ciências.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma fonte emite fótons por pulso com distribuição de Poisson de média µ = 3,00 fótons/pulso. Um detector com eficiência de detecção ? = 0,30 registra cada fóton independentemente com probabilidade ?. Para um pulso, qual a probabilidade de detectar ao menos um fóton? Use propriedade de 'thinning' Poisson.
- A) P(até 1+) = 1 - exp(-?) com ? = ?·µ = 0,90 ? P = 1 - e^{-0,9} ˜ 0,593.
- B) P = 0,500
- C) P = 0,200
- D) P = 0,800
- E) P = 0,400
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Pela propriedade de thinning de Poisson, se cada fóton de uma fonte Poisson com média µ = 3,00 é detectado independentemente com probabilidade η = 0,30, o número de fótons detectados também segue Poisson, com média λ = η·µ = 0,30 × 3,00 = 0,90. Passo 2: Para uma distribuição de Poisson de média λ, a probabilidade de zero eventos é P(0) = e^(-λ). Logo, a probabilidade de não detectar nenhum fóton é e^(-0,9), que vale aproximadamente 0,407. Passo 3: A probabilidade de detectar ao menos um fóton é o complemento: P(pelo menos 1) = 1 - e^(-0,9) ≈ 1 - 0,407 ≈ 0,593. Passo 4: Esse resultado coincide com a alternativa A, que é também o gabarito oficial, portanto não há divergência. Passo 5: Por que as outras estão erradas: a alternativa B (0,500) não corresponde a nenhum cálculo com λ = 0,9, sendo um valor arbitrário; a alternativa C (0,200) ignora a estrutura Poisson e não resulta da expressão 1 - e^(-λ); a alternativa D (0,800) seria a probabilidade correta somente para uma média de detecção bem maior, incompatível com λ = 0,9; a alternativa E (0,400) corresponde aproximadamente à probabilidade de nenhum fóton detectado, e não à de ao menos um.
💡 Dica: Calcule a probabilidade usando a distribuição de Poisson e a eficiência do detector.
Alternativa por alternativa
Thinning: o número de fótons detectados segue Poisson com média ?=?µ. Assim P(n=1)=1-P(0)=1-e^{-?}. Com ?=0,9 obtemos ˜0,593.
O aluno assume que a probabilidade vale 0,5 por simetria ou chute, sem calcular a média de fótons detectados nem a distribuição de Poisson.
O aluno tenta aplicar a eficiência diretamente como probabilidade final, ignorando que o número de fótons por pulso é aleatório e que a detecção deve ser combinada com a distribuição de Poisson.
O aluno pensa que 1 - 0,2 é o resultado, sem relacionar o valor 0,2 a nenhum parâmetro da questão, ou confunde a probabilidade de não detecção com a de detecção em uma fórmula simplificada.
Por que engana: O aluno pode confundir a aplicação da fórmula da distribuição de Poisson com a de eventos independentes, resultando em um cálculo incorreto da probabilidade.
O aluno calcula corretamente e^(-0,9) ≈ 0,407, que é a probabilidade de nenhum fóton detectado, mas esquece de tomar o complemento 1 - e^(-0,9) para obter a probabilidade de ao menos um.
Raio-X da questão
distribuição de Poisson
avaliacao
distribuição de Poisson · probabilidade de eventos independentes
Revisar a distribuição de Poisson e suas propriedades.
O aluno pode confundir a aplicação da fórmula da distribuição de Poisson com a de eventos independentes, resultando em um cálculo incorreto da probabilidade.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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