Uma câmera térmica detecta passagens de mamíferos com probabilidade p = 0,25 por hora, independentemente a…

Questão

Uma câmera térmica detecta passagens de mamíferos com probabilidade p = 0,25 por hora, independentemente a cada hora. Considere também que a detecção depende fisicamente da radiação infravermelha emitida (radiância aproximada por L = e s_SB T^4, com s_SB = 5,67×10^-8 W·m^-2·K^-4). a) Quantas horas são necessárias para obter uma expectativa de 5 detecções? b) Se p tem incerteza s_p = 0,03, estime a variação em horas necessária. c) Discuta as limitações de usar apenas a expectativa para garantir probabilidade alta (por exemplo 95%) de obter =5 detecções e escreva a expressão binomial apropriada para calcular essa probabilidade.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Modelo de resposta: a) Para expectativa E[X]=n p = 5 ? n = 5/p = 5/0,25 = 20 horas. b) Propagação: n(p)=5/p ? dn/dp = -5/p^2, então variação aproximada ?n ˜ |dn/dp|·s_p = (5·s_p)/p^2 = (5·0,03)/0,25^2 = 0,15/0,0625 = 2,4 h. Assim intervalo aproximado: 20 h ± 2,4 h ? arredondando, ~18 a 23 horas. c) Limitação: expectativa não garante probabilidade alta de alcançar o alvo; para probabilidade P(X=5) deve-se usar a distribuição binomial X ~ Bin(n,p) com n escolhido para satisfazer P(X=5) = 1 - ?_{k=0}^{4} C(n,k) p^k (1-p)^{n-k} = 0,95. Geralmente o n requerido pela condição de probabilidade é maior que o n obtido pela condição de expectativa porque a variância aumenta a dispersão em torno da média. Observação física: a detecção depende de radiância L ˜ e s_SB T^4 (T em K), logo fatores ambientais e emissividade e afetam p e sua incerteza; essas incertezas físicas devem ser incorporadas na estimativa de p antes de calcular n. Recomenda-se resolver numericamente a equação binomial para n e, se necessário, usar aproximação de Poisson (? = n p) ou simulações de Monte Carlo para incluir incertezas em p.

Explicação

A expectativa é calculada pela fórmula E[X] = n p, que permite determinar o número de horas necessárias para alcançar um certo número de detecções. A variação em horas é estimada a partir da propagação de incertezas, levando em consideração a sensibilidade da expectativa em relação à probabilidade p. Por fim, a discussão sobre a distribuição binomial destaca a diferença entre a média e a probabilidade real de alcançar o número desejado de detecções, enfatizando a necessidade de considerar a variância e incertezas físicas.

Raio-X da questão

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