Um laboratório deseja medir a velocidade do som v por tempo de voo entre dois microfones separados por d =…

Questão

Um laboratório deseja medir a velocidade do som v por tempo de voo entre dois microfones separados por d = 50,0 ± 0,5 m. A média dos tempos medidos é t¯ = 0,147 s e o desvio padrão das medições individuais é s_t = 0,00040 s. (a) Estime v e sua incerteza em função de N (número de repetições). (b) Determine se é possível obter incerteza relativa em v menor que 0,5% apenas aumentando N; se não, explique o que deve ser alterado no experimento. Use v = d/t¯ e ?v/v ˜ sqrt[(?d/d)² + (?t/t¯)²], com ?t = s_t/vN.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Cálculo do valor médio: v = d / t¯ = 50,0 m / 0,147 s = 340,1 m/s. Incerteza em d: ?d = 0,5 m ? ?d/d = 0,5/50,0 = 0,010 = 1,0%. Incerteza do tempo média: ?t = s_t/vN = 0,00040/vN s ? ?t/t¯ = (0,00040/vN)/0,147 ˜ 0,00272/vN (adimensional) ˜ 0,272%/vN. Assim a incerteza relativa de v é ?v/v ˜ sqrt[(0,010)² + (0,00272/vN)²]. Para atingir ?v/v < 0,005 (0,5%) seria necessário sqrt[0,0001 + (7,4×10?6)/N] < 0,005. Já isolando, 0,0001 = (0,005)² = 0,000025, logo a contribuição da incerteza de d (0,0001) excede o limiar aceitável; mesmo se N?8 a segunda parcela tende a zero e ?v/v ? 0,010 = 1,0%, maior que 0,5%. Conclusão: não é possível obter incerteza relativa <0,5% apenas aumentando N enquanto ?d = 0,5 m. Para alcançar <0,5% é necessário reduzir a incerteza na distância d (por exemplo ?d = 0,25 m, que daria ?d/d = 0,5%) ou aumentar a distância d mantendo ?d fixa; também pode-se reduzir s_t, melhorar sincronização e controlar sistemáticas. Em resumo: aumento de N reduz somente a parcela temporal; o erro de medição de d domina e deve ser reduzido.

Explicação

A análise mostra que a incerteza relativa em v é dominada pela incerteza na medida da distância d, que não diminui com o aumento do número de medições N. Mesmo aumentando N, a incerteza relativa não consegue ser reduzida a menos de 0,5% devido à contribuição fixa da incerteza em d. Portanto, para alcançar a meta de incerteza desejada, é necessário melhorar a precisão na medição da distância ou aumentar a distância total, ao invés de apenas aumentar o número de medições.

Raio-X da questão

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