No plano cartesiano, considere o triângulo ABC com vértices A(1,2), B(5,6) e C(9,2). a) Determine os pontos…

Questão

No plano cartesiano, considere o triângulo ABC com vértices A(1,2), B(5,6) e C(9,2). a) Determine os pontos médios M_AB, M_BC e M_AC. b) Calcule os comprimentos dos lados do triângulo formado por esses pontos médios. c) Mostre a relação entre o perímetro do triângulo medial e o perímetro de ABC.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) M_AB = ((1+5)/2,(2+6)/2) = (3,4). M_BC = ((5+9)/2,(6+2)/2) = (7,4). M_AC = ((1+9)/2,(2+2)/2) = (5,2). b) Distâncias: |M_AB M_BC| = v((7-3)²+(4-4)²) = v(16+0) = 4. |M_BC M_AC| = v((5-7)²+(2-4)²) = v(4+4) = 2v2. |M_AC M_AB| = v((5-3)²+(2-4)²) = v(4+4) = 2v2. Perímetro do triângulo medial = 4 + 2v2 + 2v2 = 4 + 4v2. c) Cálculo do perímetro de ABC: |AB| = v((5-1)²+(6-2)²) = v(16+16) = 4v2. |BC| = v((9-5)²+(2-6)²) = v(16+16) = 4v2. |AC| = v((9-1)²+(2-2)²) = v(64+0) = 8. Perímetro ABC = 4v2 + 4v2 + 8 = 8v2 + 8. Metade do perímetro de ABC é (8v2+8)/2 = 4v2 + 4 = 4 + 4v2, que coincide com o perímetro do triângulo medial. Conclusão: o perímetro do triângulo formado pelos pontos médios é igual à metade do perímetro do triângulo original (cada lado do triângulo medial tem metade do comprimento do lado correspondente do triângulo ABC).

Explicação

Os pontos médios dos lados do triângulo original formam um novo triângulo, cujo perímetro é sempre metade do perímetro do triângulo original. Isso ocorre porque cada lado do triângulo medial é paralelo e igual à metade do comprimento do lado correspondente do triângulo original. Assim, a relação entre os perímetros é uma propriedade fundamental da geometria dos triângulos.

Raio-X da questão

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