No plano cartesiano, sejam A(2,3) e B(8,7). Determine o ponto médio M do segmento AB e a distância |AB|.
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Questão
No plano cartesiano, sejam A(2,3) e B(8,7). Determine o ponto médio M do segmento AB e a distância |AB|.
- A) M(7,5); |AB|=v52+2
- B) M(5,4); |AB|=v20
- C) M(4,4); |AB|=v100
- D) M(5,5); |AB|=v52=2v13
- E) M(6,5); |AB|=10
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Ponto médio: M = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2). Com A(2,3) e B(8,7): xM = (2+8)/2 = 10/2 = 5 e yM = (3+7)/2 = 10/2 = 5. Logo M(5,5).
- Distância entre dois pontos: |AB| = raiz de ((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2). Diferenças: 8-2 = 6 e 7-3 = 4.
- |AB| = raiz de (6^2 + 4^2) = raiz de (36 + 16) = raiz de 52. Como 52 = 4 x 13, raiz de 52 = raiz de 4 x raiz de 13 = 2 raiz de 13.
- Resultado: M(5,5) e |AB| = raiz de 52 = 2 raiz de 13, exatamente a alternativa D.
- Comparação com o gabarito: o gabarito oficial é D, e a resolução independente chegou ao mesmo resultado.
- Por que as outras estão erradas: A traz ponto médio M(7,5), que não corresponde à média das coordenadas, e uma soma com 2 no lugar de raiz; B tem yM = 4, quando a média de 3 e 7 é 5, e |AB| = raiz de 20 não bate com 6 e 4; C tem M(4,4), que não é a média de 2 e 8 nem de 3 e 7, e |AB| = raiz de 100 = 10 não coincide com raiz de 52; E tem xM = 6, quando a média de 2 e 8 é 5, embora |AB| = 10 pareça 'bonito', ele não vem de 6 e 4 (seria raiz de 52).
💡 Dica: Calcule o ponto médio e a distância usando as fórmulas apropriadas.
Alternativa por alternativa
Calculou o ponto médio com erro na soma ou divisão das abscissas e tratou a raiz como se fosse uma soma, escrevendo raiz de 52 + 2.
Por que engana: Confundir a fórmula do ponto médio com a fórmula da distância, resultando em um valor incorreto para M.
Errou a média da ordenada (3+7 não dá 4 após dividir por 2) e na distância usou diferenças erradas (como 4 e 2), chegando a raiz de 20.
Calculou M(4,4) com média errada e, na distância, usou valores das coordenadas no lugar das diferenças, obtendo 8^2 + 6^2 = 100.
Ponto médio M = ((2+8)/2,(3+7)/2)=(5,5). Distância |AB| = v((8-2)²+(7-3)²)=v(36+16)=v52=2v13.
Errou a abscissa do ponto médio (escrevendo 6 no lugar de 5) e chegou a |AB| = 10 por reconhecer a terna 6-8-10, sem calcular as diferenças corretas (6 e 4).
Raio-X da questão
ponto médio e distância
avaliacao
ponto médio · distância entre pontos
Revisar as fórmulas do ponto médio e da distância entre dois pontos.
Confundir a fórmula do ponto médio com a fórmula da distância, resultando em um valor incorreto para M.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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