Matemática9º anoBNCC EF09MA15Média⏱ longo

Uma equipe de estudantes está desenvolvendo um simulador para visualizar estruturas triangulares regulares em…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EF09MA15

Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Uma equipe de estudantes está desenvolvendo um simulador para visualizar estruturas triangulares regulares em um plano cartesiano. O programa deve receber o comprimento s de cada lado, com s>0, e usar n=3. O centro do triângulo deve coincidir com a origem, e o primeiro vértice deve estar sobre o eixo x positivo, na posição (R,0), em que R é a distância do centro a qualquer vértice. Como os vértices são igualmente distribuídos em uma circunferência, o ângulo central entre vértices consecutivos é 2p/n. Para um polígono regular, o lado s é uma corda dessa circunferência, portanto s=2R sen(p/n). Com base no texto, selecione a descrição de um algoritmo implementável em software que receba s>0, use n=3 e devolva as coordenadas cartesianas (x_k,y_k) dos três vértices do triângulo regular, apresentando também um fluxograma textual com as etapas do processamento.

A) Início → receber s, com s>0, e definir n=3 → calcular R=s/[2 sen(π/n)] → definir k=1 → enquanto k<n, calcular x_k=R cos(2πk/n) e y_k=R sen(2πk/n), armazenar (x_k,y_k) e aumentar k em 1 → devolver a lista dos dois pares armazenados → fim.
B) Início → receber s, com s>0, e definir n=3 → calcular R=s/[2 cos(π/n)] → definir k=0 → enquanto k<n, calcular x_k=R cos(2πk/n) e y_k=R sen(2πk/n), armazenar (x_k,y_k) e aumentar k em 1 → devolver a lista dos três pares armazenados → fim.
C) Início → receber s, com s>0, e definir n=3 → calcular R=s/[2 sen(π/n)] → definir k=0 → enquanto k<n, calcular x_k=R cos(2πk/n) e y_k=R sen(2πk/n), armazenar (x_k,y_k) e aumentar k em 1 → devolver a lista dos três pares armazenados → fim.
D) Início → receber s, com s>0, e definir n=3 → calcular R=s/[2 sen(π/n)] → definir k=0 → enquanto k<n, calcular x_k=R cos(πk/n) e y_k=R sen(πk/n), armazenar (x_k,y_k) e aumentar k em 1 → devolver a lista dos três pares armazenados → fim.
E) Início → receber s, com s>0, e definir n=3 → calcular R=s → definir k=0 → enquanto k<n, calcular x_k=R cos(2πk/n) e y_k=R sen(2πk/n), armazenar (x_k,y_k) e aumentar k em 1 → devolver a lista dos três pares armazenados → fim.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

Dado s = 2R sen(pi/n) e n = 3, isolamos o raio: R = s / (2 sen(pi/3)). Como sen(pi/3) = raiz de 3 / 2, temos R = s / raiz de 3, ou seja, R = s raiz de 3 / 3. Passo 2: Os vértices são distribuídos com ângulo central 2pi/n. Para k = 0, 1, 2, os ângulos são 0, 2pi/3 e 4pi/3 (0°, 120° e 240°). Passo 3: Assim, os vértices são (R, 0), (-R/2, R raiz de 3 / 2) e (-R/2, -R raiz de 3 / 2). O algoritmo correto deve começar com k = 0, usar a fórmula com 2pi/n e armazenar os três pares. Passo 4: A alternativa C faz exatamente isso: R = s/[2 sen(pi/n)], k começa em 0, o laço vai até k < n (três repetições) e x_k = R cos(2pi k/n), y_k = R sen(2pi k/n). Passo 5: Por que as outras estão erradas: A começa em k = 1 e usa k < n, gerando apenas dois vértices e perdendo (R, 0). B usa cosseno na relação da corda, o que está errado, pois a corda usa seno. D usa pi k/n, que dá ângulos centrais pela metade e posiciona os vértices em apenas uma semicircunferência. E considera R = s, o que confunde lado com raio; no triângulo regular, s = R raiz de 3. Conclusão: a alternativa correta é a C, de acordo com o gabarito oficial.

💡 Dica: Considere a fórmula para calcular as coordenadas dos vértices de um polígono regular.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Procedimental

O aluno iniciou o contador em k = 1 e manteve a condição k < n, achando que os índices vão de 1 a n-1. Assim, ele perde o vértice (R, 0) e obtém apenas dois pares.

B Erradaerro: Conceituala que mais engana

O aluno trocou seno por cosseno na relação da corda, usando R = s / [2 cos(pi/n)]. Essa troca faz o raio sair errado, mesmo com o restante do algoritmo correto.

Por que engana: Confundir a fórmula para calcular R, utilizando a relação incorreta entre s e n, levando a um erro nas coordenadas dos vértices.

C Correta

A relação s=2R sen(π/n) fornece R=s/[2 sen(π/n)]. Os vértices estão separados por ângulos de 2π/n a partir do primeiro vértice, que corresponde a k=0 e resulta em (R,0). Como n=3, o laço percorre k=0, 1 e 2, produzindo exatamente os três vértices e encerrando quando k=3.

D Erradaerro: Procedimental

O aluno usou o ângulo pi k / n em vez de 2 pi k / n. Com isso, os ângulos centrais ficam pela metade e os vértices não se espalham pela circunferência inteira.

E Erradaerro: Conceitual

O aluno supôs que o raio é igual ao lado (R = s), como se o raio e o lado fossem a mesma medida. Essa intuição não vale no triângulo, em que s = R raiz de 3.

Raio-X da questão

Dificuldade Média

Leitura alto

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ interpretativa🧩 desafio

🎯 Conceito central

polígono regular

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

coordenadas cartesianas · polígonos regulares

📚 Reveja

Revisar a geometria dos polígonos regulares e suas propriedades.

⚠️ Erro mais comum

Confundir a fórmula para calcular R, utilizando a relação incorreta entre s e n, levando a um erro nas coordenadas dos vértices.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

cientifico

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