Uma placa triangular tem formato de um triângulo equilátero, com lados de 6 cm. Ela será contornada por uma…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma placa triangular tem formato de um triângulo equilátero, com lados de 6 cm. Ela será contornada por uma circunferência que passa pelos três vértices do triângulo. Determine o raio da circunferência circunscrita à placa, considerando que sen 60° = v3/2.
- A) R = 6 · tan 60° = 6√3 cm.
- B) R = 6/(2 · sen 30°) = 6 cm.
- C) R = 6/sen 60° = 4√3 cm.
- D) R = 6/(3 · sen 60°) = 4√3/3 cm.
- E) R = 6/(2 · sen 60°) = 2√3 cm.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Como a questão pede o raio da circunferência que passa pelos três vértices, trata-se do circunraio R. A lei dos senos relaciona um lado a e o seno do ângulo oposto A com o diâmetro: a / sen A = 2R. Passo 2: Em um triângulo equilátero, cada ângulo interno mede 60°, e o lado oposto a cada ângulo é um lado de 6 cm. Passo 3: Aplicando a lei dos senos: 6 / sen 60° = 2R, logo R = 6 / (2 · sen 60°). Passo 4: Com sen 60° = √3/2, temos 2 · sen 60° = √3, então R = 6/√3 = 6√3/3 = 2√3 cm. Passo 5: Conferência: em um triângulo equilátero de lado l, o circunraio vale l/√3, que dá 6/√3 = 2√3 cm, o mesmo resultado. Passo 6: Por que as outras estão erradas: a alternativa A usa tangente, que não relaciona lado e circunraio; a alternativa B usa sen 30°, mas o ângulo oposto ao lado é 60°; a alternativa C esquece o fator 2 da lei dos senos; a alternativa D usa o fator 3 no lugar do fator 2. O gabarito E está correto.
💡 Dica: Utilize a relação entre o lado do polígono e o raio da circunferência.
Alternativa por alternativa
O aluno acha que o raio é o lado multiplicado pela tangente do ângulo, como se o raio fosse um cateto de um triângulo retângulo. Ele não reconhece a relação própria do circunraio com a lei dos senos.
Por que engana: Confundir a relação entre o lado do polígono e o raio da circunferência, utilizando a fórmula errada para o cálculo do raio.
O aluno usa sen 30° no lugar de sen 60°, talvez por confundir o ângulo do triângulo com a metade dele. Assim, o ângulo oposto ao lado de 6 cm fica trocado.
O aluno aplica corretamente a razão lado sobre seno, mas esquece o fator 2 da lei dos senos, que é o diâmetro. Assim obtém R = 6/sen 60°, que é o dobro do valor correto.
O aluno usa um fator 3 no denominador, provavelmente associando o triângulo aos seus três lados ou aos três vértices. Ele não reproduz a fórmula 2R = a/sen A.
O centro da circunferência circunscrita de um triângulo equilátero divide cada lado em um triângulo retângulo. O lado de 6 cm é dividido ao meio, formando um segmento de 3 cm. O ângulo central correspondente a um lado é 120°, e metade dele mede 60°. Assim, sen 60° = 3/R. Portanto, R = 3/sen 60° = 6/(2 · sen 60°) = 2√3 cm.
Raio-X da questão
raio circunferência polígono
avaliacao
trigonometria básica · propriedades de polígonos regulares
Revisar as propriedades de polígonos regulares e trigonometria.
Confundir a relação entre o lado do polígono e o raio da circunferência, utilizando a fórmula errada para o cálculo do raio.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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