Considere um segmento AB de comprimento a, com a > 0. É possível usar esse segmento como lado de um triângulo…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular (como quadrado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Considere um segmento AB de comprimento a, com a > 0. É possível usar esse segmento como lado de um triângulo equilátero. Qual alternativa descreve corretamente, por escrito e em forma de fluxograma, uma construção com régua e compasso de um triângulo equilátero de lado a e também apresenta uma construção equivalente em um software de geometria?
- A) Régua e compasso: trace circunferências de centros A e B, ambas com raio 2a. Escolha uma interseção C e ligue A a C e B a C. Fluxograma: Início → traçar as duas circunferências → escolher C → ligar AC e BC → Fim. Software: desenhar AB, traçar círculos com centros A e B e raio 2AB, escolher C e criar AC e BC.
- B) Régua e compasso: trace uma circunferência de centro A e raio a. Escolha qualquer ponto C sobre ela e ligue A a C e B a C. Fluxograma: Início → traçar uma circunferência → escolher C → ligar AC e BC → Fim. Software: desenhar AB, traçar um círculo com centro A e raio AB, escolher um ponto C e criar AC e BC.
- C) Régua e compasso: trace uma circunferência de centro A e raio a e outra de centro B e raio a. Escolha uma interseção C e ligue A a C e B a C. Fluxograma: Início → traçar as duas circunferências → escolher C → ligar AC e BC → Fim. Software: desenhar o segmento AB, traçar círculos com centros A e B e raio AB, escolher uma interseção C e criar os segmentos AC e BC.
- D) Régua e compasso: trace circunferências de centros A e B, ambas com raio a/2. Escolha uma interseção C e ligue A a C e B a C. Fluxograma: Início → traçar as duas circunferências → escolher C → ligar AC e BC → Fim. Software: desenhar AB, traçar círculos com centros A e B e raio AB/2, escolher C e criar AC e BC.
- E) Régua e compasso: trace uma circunferência de centro A e raio a e outra de centro B e raio 2a. Escolha uma interseção C e ligue A a C e B a C. Fluxograma: Início → traçar as duas circunferências → escolher C → ligar AC e BC → Fim. Software: desenhar AB, traçar círculos com centros A e B e raios AB e 2AB, escolher C e criar AC e BC.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Dado o segmento AB de comprimento a, queremos um ponto C tal que AC = a e BC = a. Assim os três lados AB, AC e BC serão iguais a a, e o triângulo será equilátero.
- Para ter AC = a, C deve estar sobre a circunferência de centro A e raio a. Para ter BC = a, C deve estar sobre a circunferência de centro B e raio a.
- Traçando essas duas circunferências com a compasso, elas se cortam em dois pontos. Qualquer um deles, escolhido como C e ligado a A e a B, forma o triângulo equilátero ABC. Em software de geometria, o procedimento é o mesmo: desenhar AB, criar círculos de centros A e B com raio AB, escolher uma interseção C e criar os segmentos AC e BC.
- Por que as outras estão erradas. A: o raio 2a faz AC = BC = 2a, e o triângulo teria lados 2a, 2a e a, que não é equilátero. B: usa uma única circunferência, então só garante AC = a e não garante BC = a. D: o raio a/2 dá AC = BC = a/2, diferente de a. E: o raio 2a com centro B e o raio a com centro A fazem as circunferências se tangenciarem internamente em um único ponto, que fica alinhado com A e B, então não há triângulo.
- Conclusão: a alternativa correta é a C, que é a única que usa duas circunferências de raio a, com centros em A e em B.
💡 Dica: Descreva os passos do algoritmo antes de criar o fluxograma.
Alternativa por alternativa
Acredita que o raio das circunferências pode ser qualquer múltiplo do lado, desde que se cruzem; por isso usa raio 2a, sem verificar que as distâncias AC e BC deveriam ser iguais ao lado a.
Entende que basta uma circunferência de centro A e raio a para garantir o triângulo, esquecendo que C também precisa estar a distância a de B; escolher qualquer ponto da circunferência não fixa BC = a.
Como AB = a, a circunferência de centro A e raio a garante AC = a, e a de centro B e raio a garante BC = a. Como também AB = a, os três lados do triângulo ABC têm o mesmo comprimento. O fluxograma apresenta todas as etapas da construção, e o procedimento no software reproduz a mesma ideia.
Confunde o raio necessário com a metade do lado, achando que a construção exige raio a/2, o que faz AC e BC valerem a/2 e não a.
Acha que circunferências com raios diferentes (a e 2a) sempre se cruzam em dois pontos formando um triângulo; não percebe que, com centros a distância a e raio 2a, a circunferência de raio a fica tangente à de raio 2a, e o ponto de contato está alinhado com A e B.
Por que engana: O aluno pode confundir a construção de um triângulo equilátero com a construção de outras figuras geométricas, como um octógono.
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Revisar os conceitos de construção geométrica com régua e compasso.
O aluno pode confundir a construção de um triângulo equilátero com a construção de outras figuras geométricas, como um octógono.
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