A base de um prisma reto é um triângulo retângulo com catetos de 10 cm e 24 cm. No cateto de 10 cm marca-se um…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, plano cartesiano ou tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A base de um prisma reto é um triângulo retângulo com catetos de 10 cm e 24 cm. No cateto de 10 cm marca-se um ponto a 4 cm do vértice do ângulo reto; a reta paralela ao cateto de 24 cm por esse ponto determina um triângulo menor, similar ao original, com cateto correspondente de 6 cm. Se a altura do prisma é 15 cm, calcule o volume do prisma cuja base é o triângulo menor.
- A) O volume do prisma é 600 cm³.
- B) O cateto correspondente do triângulo menor é 4 cm.
- C) A altura do prisma é 10 cm.
- D) 648 cm³
- E) O triângulo menor é igual ao original em área.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Calcule o triângulo original. Pelo teorema de Pitágoras, a hipotenusa é raiz de (10^2 + 24^2) = raiz de 676 = 26 cm. Sua área é (10 x 24)/2 = 120 cm².
- Identifique o triângulo menor. O ponto marcado no cateto de 10 cm está a 4 cm do vértice do ângulo reto, então sobram 10 - 4 = 6 cm entre esse ponto e o vértice agudo oposto. A reta paralela ao cateto de 24 cm corta a hipotenusa e forma um triângulo menor, semelhante ao original, cujo cateto correspondente ao de 10 cm mede 6 cm, como informa o enunciado.
- Calcule a razão de semelhança. A razão entre os catetos correspondentes é k = 6/10 = 0,6. O outro cateto do triângulo menor mede 24 x 0,6 = 14,4 cm.
- Calcule a área da base menor. A área é (6 x 14,4)/2 = 43,2 cm². Conferindo pela razão de semelhança, a área deve ser k^2 vezes a original: 0,36 x 120 = 43,2 cm².
- Calcule o volume. Como o prisma é reto e a altura é 15 cm, V = área da base x altura = 43,2 x 15 = 648 cm³. Portanto, a alternativa D está correta e coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas. A) 600 cm³ não corresponde ao volume calculado. B) O cateto correspondente do triângulo menor é 6 cm, não 4 cm, que é apenas a distância do ponto ao vértice. C) A altura do prisma é 15 cm, não 10 cm, que é o cateto do triângulo da base. E) Triângulos semelhantes não têm áreas iguais; o menor tem área 0,36 vezes a do original.
💡 Dica: Calcule a área da base e multiplique pela altura.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente calculou a área da base com medidas trocadas, por exemplo usando 4 cm e 20 cm como catetos (área de 40 cm²), e depois multiplicou por 15 cm.
Por que engana: O aluno pode confundir as dimensões do triângulo menor com as do triângulo original, aplicando incorretamente a fórmula do volume.
O aluno confundiu a distância de 4 cm entre o ponto marcado e o vértice do ângulo reto com o cateto correspondente do triângulo menor, que é 10 - 4 = 6 cm.
O aluno trocou a altura do prisma (15 cm) pelo cateto de 10 cm da base, usando um dado do lugar errado do enunciado.
Semelhança: escala linear =6/10=3/5, escala de áreas =(3/5)²=9/25. Área base original=(10·24)/2=120 cm²; área menor=120·9/25=43,2 cm². Volume=43,2·15=648 cm³.
O aluno acha que, por o triângulo menor ser semelhante ao original, ele teria a mesma área. Na verdade, na semelhança as áreas variam com o quadrado da razão de semelhança, que é 0,6, resultando em 0,36 vezes a área original.
Raio-X da questão
volume de prisma
avaliacao
volume de prisma · semelhança de triângulos
Revisar o cálculo de volume de prismas e semelhança de triângulos.
O aluno pode confundir as dimensões do triângulo menor com as do triângulo original, aplicando incorretamente a fórmula do volume.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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