Determine o comprimento da diagonal espacial, entre vértices opostos, de um prisma reto cuja base é um…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Determine o comprimento da diagonal espacial, entre vértices opostos, de um prisma reto cuja base é um retângulo de lados 9 cm e 40 cm e cuja altura é 6 cm. Apresente a resposta em forma radical e aproximada com duas casas decimais.
- A) √2977 cm ≈ 54,56 cm
- B) √1681 cm ≈ 41,00 cm
- C) √1717 cm ≈ 41,44 cm
- D) √1723 cm ≈ 41,51 cm
- E) √55 cm ≈ 7,42 cm
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Na base retangular, a diagonal ligando vértices opostos é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos 9 cm e 40 cm. Pelo teorema de Pitágoras: d_base^2 = 9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681, logo d_base = raiz de 1681 = 41 cm. Passo 2: A diagonal espacial forma um triângulo retângulo com a diagonal da base (41 cm) e a altura do prisma (6 cm), que é perpendicular à base. Assim, D^2 = 41^2 + 6^2 = 1681 + 36 = 1717, e D = raiz de 1717 cm. Passo 3: Calculando a raiz aproximada, 41,43^2 = 1716,44 e 41,44^2 = 1717,27, então D ≈ 41,44 cm. Passo 4: Conclusão: a alternativa correta é a C, que coincide com o gabarito oficial. A alternativa A está errada porque usa 36 em vez de 6 para a altura, obtendo 1681 + 1296 = 2977. A alternativa B está errada porque ignora completamente a altura do prisma. A alternativa D está errada porque soma 36 e também 6 ao valor 1681, o que não corresponde a nenhum passo do cálculo. A alternativa E está errada porque soma as três medidas (9 + 40 + 6 = 55) em vez de aplicar o teorema de Pitágoras.
💡 Dica: Utilize a fórmula da diagonal de um prisma reto.
Alternativa por alternativa
Elevou a altura ao quadrado de forma indevida ao usar 36 como se fosse a altura, ou seja, calculou 6^2 e depois elevou novamente, obtendo 41^2 + 36^2 = 2977.
Calculou apenas a diagonal da base (41 cm) e esqueceu de incluir a altura do prisma na diagonal espacial, achando que a diagonal do sólido é igual à da face.
A diagonal espacial de um prisma reto pode ser calculada por d = √(a² + b² + h²). Assim, d = √(9² + 40² + 6²) = √(81 + 1600 + 36) = √1717 cm. Como √1717 ≈ 41,4367, com duas casas decimais, a resposta é 41,44 cm.
Somou ao quadrado da diagonal da base tanto o quadrado da altura (36) quanto a própria altura (6), obtendo 1681 + 36 + 6 = 1723, em vez de somar apenas 36.
Por que engana: Confundir a aplicação do teorema de Pitágoras, utilizando incorretamente as dimensões do prisma na fórmula.
Acreditou que a diagonal espacial é a soma das três dimensões do prisma (9 + 40 + 6 = 55), confundindo a soma das medidas com a aplicação do teorema de Pitágoras em duas etapas.
Raio-X da questão
diagonal de um prisma
avaliacao
teorema de pitágoras · cálculo de raízes quadradas
Revisar a fórmula da diagonal em prismas retos.
Confundir a aplicação do teorema de Pitágoras, utilizando incorretamente as dimensões do prisma na fórmula.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cientifico
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