Um bastão vertical de h = 2,00 m tem sombra s(t)=h·cot?(t). No instante em que ? = 30° a velocidade angular de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um bastão vertical de h = 2,00 m tem sombra s(t)=h·cot?(t). No instante em que ? = 30° a velocidade angular de elevação do Sol é d?/dt = +0,25°/min (aumentando). Calcule ds/dt em m/min. Converta °?rad (p rad = 180°).
- A) ds/dt = 0,025 m·min?¹
- B) ds/dt = -p/90 m·min?¹ ˜ -0,0349 m/min
- C) ds/dt = -4 m·min?¹
- D) ds/dt = p/90 m·min?¹
- E) ds/dt = -p/180 m·min?¹
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Identifique a relação. A sombra é s = h·cot(θ), com h = 2,00 m. Derivando em relação ao tempo pela regra da cadeia, ds/dt = -h·csc²(θ)·dθ/dt, pois a derivada de cot(θ) é -csc²(θ). Passo 2: Calcule csc²(30°). Como sen(30°) = 1/2, csc²(30°) = 1/(1/4) = 4. Passo 3: Converta a taxa angular para radianos. dθ/dt = 0,25° por minuto = 0,25·(π/180) rad/min = π/720 rad/min. Passo 4: Substitua os valores. ds/dt = -2·4·(π/720) = -8π/720 = -π/90 m/min, que é aproximadamente -0,0349 m/min. Passo 5: Conclusão. A resposta é a alternativa B, que coincide com o gabarito oficial. O sinal negativo é esperado: com o Sol subindo, o ângulo aumenta e a sombra encurta. A alternativa A está errada porque não aplica a derivada da cotangente nem a conversão correta, e seu valor positivo contraria o sinal esperado. A alternativa C está errada porque ignora a taxa dθ/dt e a conversão para radianos, deixando apenas o csc² com o fator h. A alternativa D está errada porque tem sinal positivo, quando a sombra diminui à medida que o ângulo cresce. A alternativa E está errada porque omite o fator h = 2 m, resultando na metade do valor correto.
💡 Dica: Utilize a relação entre a sombra e o ângulo para derivar a equação.
Alternativa por alternativa
O aluno trata a taxa da sombra como se fosse proporcional direta à taxa angular, sem derivar a cotangente, e ainda perde a escala da conversão de graus para radianos, chegando a um valor pequeno e positivo.
Por que engana: Confundir a relação entre a variação da sombra e a variação do ângulo solar, aplicando incorretamente a fórmula da cotangente.
s = h·cot? ? ds/dt = -h·csc²?·d?/dt. Para ?=30°, csc²30°=1/(sin30°)²=4. d?/dt = 0,25°/min = p/720 rad/min. Assim ds/dt = -2·4·(p/720)=-p/90 ˜ -0,0349 m/min.
O aluno calcula corretamente csc²(30°) = 4 e o sinal negativo, mas esquece de multiplicar pela taxa dθ/dt e pela altura h, ficando apenas com -csc²(θ) como se fosse a resposta final.
O aluno acerta o módulo e a conversão para radianos, mas ignora que a derivada de cot é negativa e assume que a sombra cresce quando o Sol sobe, por intuição do dia a dia.
O aluno aplica corretamente a derivada e a conversão angular, mas esquece o fator h = 2,00 m na fórmula, obtendo -csc²(θ)·dθ/dt, que é a metade do resultado correto.
Raio-X da questão
sombra e ângulo solar
avaliacao
cotangente e ângulos · derivadas e taxas de variação
Revisar a relação entre ângulo e cotangente em trigonometria.
Confundir a relação entre a variação da sombra e a variação do ângulo solar, aplicando incorretamente a fórmula da cotangente.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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