Considere o triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C. A altitude CD é traçada sobre a hipotenusa AB…

Questão

Considere o triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C. A altitude CD é traçada sobre a hipotenusa AB, encontrando AB em D. Sabe-se que AB = 25, AD = 9 e DB = 16. Determine: (a) o comprimento da altitude CD; (b) os comprimentos dos catetos AC e BC; (c) verifique que AC² + BC² = AB². Apresente cálculos simbólicos e numéricos, utilizando expoente fracionário quando necessário.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Pela semelhança dos triângulos formados pela altitude: AC² = AB·AD, BC² = AB·DB e CD² = AD·DB. Logo AC = (AB·AD)^{1/2} = (25·9)^{1/2} = 225^{1/2} = 15. BC = (25·16)^{1/2} = 400^{1/2} = 20. CD = (9·16)^{1/2} = 144^{1/2} = 12. Verificação: AC² + BC² = 15² + 20² = 225 + 400 = 625 = 25² = AB², portanto satisfeito.

Explicação

A resolução utiliza a relação de semelhança dos triângulos formados pela altitude, permitindo calcular os catetos e a altura em função dos segmentos da hipotenusa. Os valores obtidos para AC e BC satisfazem o Teorema de Pitágoras, confirmando a consistência dos cálculos. A verificação final demonstra que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa, validando assim os resultados encontrados.

Raio-X da questão

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