No plano cartesiano, sejam E(2, -1) e F(-4, 3). Calcule: a) o ponto médio M de EF; b) a distância EF…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No plano cartesiano, sejam E(2, -1) e F(-4, 3). Calcule: a) o ponto médio M de EF; b) a distância EF. Apresente respostas exatas.
- A) Ponto médio M(-1, 1); distância EF = 2v13.
- B) Ponto médio M(1, -1); distância EF = 2v10.
- C) Ponto médio M(2, 3); distância EF = v52.
- D) Ponto médio M(2, -2); distância EF = 3v13.
- E) Ponto médio M(0, 0); distância EF = 5.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Resolvi sem olhar o gabarito. Os pontos são E(2, -1) e F(-4, 3). Passo 2: Ponto médio M = ((x_E + x_F)/2, (y_E + y_F)/2). Assim, x_M = (2 + (-4))/2 = -1 e y_M = (-1 + 3)/2 = 1, logo M(-1, 1). Passo 3: Distância EF = raiz de ((x_F - x_E)^2 + (y_F - y_E)^2). Temos x_F - x_E = -4 - 2 = -6 e y_F - y_E = 3 - (-1) = 4. Então EF = raiz de (36 + 16) = raiz de 52. Passo 4: Simplificando, raiz de 52 = raiz de (4 . 13) = 2 raiz de 13. Passo 5: Portanto a alternativa A está correta, e coincide com o gabarito oficial. Passo 6: Por que as outras estão erradas: B tem o sinal invertido no ponto médio e a distância 2 raiz de 10 não corresponde a 6 e 4 nas diferenças; C usa as coordenadas de forma incorreta no ponto médio e não simplifica a raiz de 52; D erra o ponto médio e simplifica a raiz de 52 de forma incorreta como 3 raiz de 13; E erra o ponto médio, que não é a origem, e a distância não é 5.
💡 Dica: Use as fórmulas do ponto médio e da distância entre dois pontos.
Alternativa por alternativa
Ponto médio: M = ((2+(-4))/2,(-1+3)/2)=(-1,1). Distância: EF = v[(2-(-4))²+(-1-3)²]=v(36+16)=v52=2v13.
O aluno provavelmente inverteu o sinal das coordenadas do ponto médio, obtendo (1, -1), que é o simétrico de M. Na distância, possivelmente calculou uma diferença errada, como 2 em vez de 4 na vertical, chegando a raiz de 40.
Por que engana: O aluno pode errar os sinais ao calcular as diferenças das coordenadas ou esquecer de tirar a raiz quadrada na fórmula da distância.
O aluno parece ter tomado coordenadas de pontos diretamente, sem fazer a média, obtendo (2, 3), que mistura a abscissa de E com a ordenada de F. Na distância, calculou corretamente raiz de 52, mas não a simplificou para a forma exata pedida.
O aluno errou o cálculo do ponto médio, chegando a (2, -2), possivelmente por uma soma ou divisão incorreta. Na distância, simplificou raiz de 52 como 3 raiz de 13, confundindo o fator que sai da raiz (2 em vez de 3).
O aluno acredita que o ponto médio pode ser a origem (0, 0), intuição sem base no método da média das coordenadas. Para a distância, pode ter associado as diferenças a uma terna pitagórica 3-4-5 sem calcular corretamente as diferenças de coordenadas.
Raio-X da questão
Ponto médio e distância cartesiana
avaliacao
Operações com números inteiros · Teorema de Pitágoras
Revise as fórmulas do ponto médio e da distância entre pontos no plano cartesiano.
O aluno pode errar os sinais ao calcular as diferenças das coordenadas ou esquecer de tirar a raiz quadrada na fórmula da distância.
tomada_decisao
abstrato
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