Num triângulo retângulo, os catetos medem 2x+1 e x-1 e a hipotenusa mede 25. Determine o valor de x (considere…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Num triângulo retângulo, os catetos medem 2x+1 e x-1 e a hipotenusa mede 25. Determine o valor de x (considere x>1).
- A) x = (-1 + 2v779)/5
- B) x = 10.
- C) x = 15.
- D) x = 5.
- E) x = 2.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Pelo teorema de Pitágoras, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa: (2x+1)^2 + (x-1)^2 = 25^2 = 625. Passo 2: Desenvolvendo os quadrados: (4x^2 + 4x + 1) + (x^2 - 2x + 1) = 625. Passo 3: Somando os termos semelhantes: 5x^2 + 2x + 2 = 625, o que resulta em 5x^2 + 2x - 623 = 0. Passo 4: Aplicando a fórmula de Bhaskara, o discriminante é Δ = 2^2 - 4(5)(-623) = 4 + 12460 = 12464 = 16 × 779, logo a raiz quadrada de Δ é 4 × raiz de 779. Passo 5: As raízes são x = (-2 ± 4 × raiz de 779)/10, que simplificadas ficam x = (-1 ± 2 × raiz de 779)/5. Passo 6: Como a questão pede x > 1, descartamos a raiz negativa, pois ela é menor que 0. Restando x = (-1 + 2 × raiz de 779)/5, que é aproximadamente 10,96, valor maior que 1. Passo 7: Verificação: com x ≈ 10,96, os catetos medem cerca de 22,93 e 9,96; 22,93^2 + 9,96^2 ≈ 525,8 + 99,2 = 625. Confere. Passo 8: A alternativa B está errada, pois com x = 10 os catetos medem 21 e 9 e 441 + 81 = 522, diferente de 625. A alternativa C está errada, pois com x = 15 os catetos medem 31 e 14 e a soma dos quadrados ultrapassa 625. A alternativa D está errada, pois com x = 5 os catetos medem 11 e 4 e 121 + 16 = 137. A alternativa E está errada, pois com x = 2 os catetos medem 5 e 1 e 25 + 1 = 26. Conclusão: a resposta correta é a alternativa A, de acordo com o gabarito oficial.
💡 Dica: Aplique o teorema de Pitágoras para resolver a equação.
Alternativa por alternativa
(2x+1)²+(x-1)²=25² ? 5x²+2x+2=625 ? 5x²+2x-623=0. Solução positiva: x = [-1+2v779]/5.
O aluno provavelmente tentou um valor inteiro simples e testou apenas se x = 10 satisfaz a equação, sem fazer a verificação completa do Teorema de Pitágoras. Também pode ter assumido que a resposta da questão teria de ser um número inteiro.
Por que engana: O aluno pode confundir a relação entre os lados do triângulo retângulo, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras e não isolando corretamente a variável x.
O aluno pode ter chutado um valor grande ou ter imaginado que a hipotenusa 25 corresponderia diretamente a algum cateto, sem montar a equação (2x+1)^2 + (x-1)^2 = 625.
O aluno provavelmente errou ao elevar os binômios ao quadrado, esquecendo o termo do duplo produto, ou escolheu x = 5 por ser um valor que parece 'redondo' e vincula-se ao número 25 da hipotenusa, sem verificar a igualdade.
O aluno provavelmente considerou que o valor pequeno de x facilita as contas e testou x = 2 sem substituir nas duas expressões dos catetos e somar seus quadrados. Também pode ter ignorado a condição de que a hipotenusa é 25.
Raio-X da questão
triângulo retângulo
avaliacao
teorema de pitágoras · equações do 1º grau
Revisar o teorema de Pitágoras e resolução de equações.
O aluno pode confundir a relação entre os lados do triângulo retângulo, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras e não isolando corretamente a variável x.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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