Na aula, Ana desenhou triângulos retângulos com lados inteiros. A hipotenusa de cada um mede 25 cm. Quantos…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Na aula, Ana desenhou triângulos retângulos com lados inteiros. A hipotenusa de cada um mede 25 cm. Quantos triângulos diferentes ela pode desenhar?
- A) 3 triângulos
- B) 2 triângulos
- C) 5 triângulos
- D) 1 triângulo
- E) 4 triângulos
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Como o triângulo é retângulo, vale o teorema de Pitágoras: a^2 + b^2 = c^2, onde c é a hipotenusa. Aqui c = 25, então a^2 + b^2 = 625, com a e b inteiros positivos.
- Procuro ternos pitagóricos com hipotenusa 25. O primeiro é (7, 24, 25), pois 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625.
- O segundo vem da ampliação do terno (3, 4, 5) por 5, que dá (15, 20, 25), pois 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625.
- Não há outros ternos. Para a hipotenusa 25, os únicos pares de catetos inteiros e positivos são 7 e 24 e 15 e 20. O caso 0 e 25 não forma triângulo.
- Trocar a posição dos catetos não cria um triângulo novo, porque o desenho fica congruente ao original. Logo, existem 2 triângulos diferentes, e a alternativa correta é a B. Concordo com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: a alternativa A considera um caso degenerado ou conta algum triângulo que não existe; a alternativa C conta posições ou espelhamentos do mesmo triângulo como se fossem diferentes; a alternativa D esquece um dos dois ternos, normalmente o que vem da ampliação do (3, 4, 5); a alternativa E conta a troca dos catetos como um triângulo diferente.
💡 Dica: Utilize o teorema de Pitágoras para encontrar os valores de a e b.
Alternativa por alternativa
Provavelmente incluiu um caso degenerado, em que um cateto mede 0 e a hipotenusa 25, como se fosse um triângulo válido. Não percebeu que os catetos precisam ser positivos.
Os pares de catetos que formam hipotenusa 25 são 7 e 24, e 15 e 20. Portanto, há 2 triângulos diferentes.
Provavelmente contou girações, espelhamentos ou posições diferentes de um mesmo triângulo como se fossem triângulos distintos. Não entendeu que triângulos com as mesmas medidas são congruentes.
Provavelmente conheceu apenas o terno (7, 24, 25) e esqueceu o terno obtido ao multiplicar (3, 4, 5) por 5, que é (15, 20, 25). Assim, considerou que só existe um triângulo com essa hipotenusa.
Provavelmente contou a troca de catetos, como (7, 24) e (24, 7), como dois triângulos diferentes. Não percebeu que essas duas configurações formam o mesmo triângulo.
Raio-X da questão
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teorema de pitágoras · propriedades dos triângulos
Revisar o teorema de Pitágoras e propriedades de triângulos retângulos.
O aluno pode confundir a relação entre os catetos e a hipotenusa, não aplicando corretamente o teorema de Pitágoras para encontrar os triângulos retângulos.
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