No espaço, sejam os pontos A(1,2,0) e B(7,-1,4). Calcule a distância |AB| entre A e B.
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No espaço, sejam os pontos A(1,2,0) e B(7,-1,4). Calcule a distância |AB| entre A e B.
- A) Os pontos A e B são o mesmo ponto.
- B) A distância |AB| é 10 unidades.
- C) |AB| = v[(7-1)² + (-1-2)² + (4-0)²] = v61 ˜ 7,81 unidades.
- D) A distância |AB| é 8 unidades.
- E) A distância |AB| é 5 unidades.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique as coordenadas: A(1, 2, 0) e B(7, -1, 4). Passo 2: Calcule as diferenças entre as coordenadas correspondentes: x: 7 - 1 = 6; y: -1 - 2 = -3; z: 4 - 0 = 4. Passo 3: Eleve cada diferença ao quadrado e some: 6^2 + (-3)^2 + 4^2 = 36 + 9 + 16 = 61. Passo 4: Extraia a raiz quadrada: |AB| = raiz de 61, que é aproximadamente 7,81 unidades. Passo 5: Conclusão: a alternativa C está correta e coincide com o gabarito oficial, pois a fórmula escrita nela é exatamente a distância entre dois pontos no espaço e o valor aproximado está certo. Por que as outras estão erradas: a alternativa A é falsa, pois os pontos têm coordenadas diferentes, logo são distintos; a alternativa B dá 10 unidades, valor que não corresponde à soma dos quadrados (61); a alternativa D dá 8 unidades, que equivale a raiz de 64 e não de 61; a alternativa E dá 5 unidades, que corresponde a raiz de 25, valor obtido ao desconsiderar a diferença em x.
💡 Dica: Utilize a fórmula da distância entre dois pontos no espaço.
Alternativa por alternativa
Acredita que dois pontos com coordenadas diferentes podem ser o mesmo ponto, ou confunde pontos com nomes parecidos. Não percebe que cada coordenada define a posição do ponto no espaço.
Provavelmente errou o cálculo da soma dos quadrados ou a raiz, chegando a um valor redondo de 10 em vez de raiz de 61. Pode ter tomado a raiz de um número próximo de 61 como se fosse exato.
A distância em 3D é extensão do teorema de Pitágoras: |AB|² = ?x²+?y²+?z². Aqui ?x=6, ?y=-3, ?z=4 ? 36+9+16=61 ? |AB|=v61.
Provavelmente arredondou ou somou errado a soma dos quadrados, obtendo 64 em vez de 61, e então tirou a raiz de 64. Não aplicou corretamente a soma dos quadrados das três diferenças.
Por que engana: Confundir a fórmula da distância, aplicando apenas a fórmula bidimensional e ignorando a terceira dimensão.
Provavelmente ignorou a diferença na coordenada x (6) e somou apenas 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25, obtendo raiz de 25 = 5. Esqueceu uma das três parcelas da fórmula.
Raio-X da questão
distância entre pontos
avaliacao
distância entre pontos no espaço · teorema de Pitágoras
Revisar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional.
Confundir a fórmula da distância, aplicando apenas a fórmula bidimensional e ignorando a terceira dimensão.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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