MatemáticaENEMBNCC EM13MAT308Difícil⏱ longo

Em um triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em C, seja CD a altura relativa à hipotenusa AB. Sabe-se que AD…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT308

Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Em um triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em C, seja CD a altura relativa à hipotenusa AB. Sabe-se que AD = 3x - 2 cm, DB = x + 1 cm e CD = 6 cm. Determine o valor de x e, em seguida, as medidas dos catetos AC e BC (apresente cálculos).

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Propriedade da altura ao quadrado: CD² = AD·DB. Substituindo: 6² = (3x-2)(x+1). Assim 36 = 3x² + x -2 ? 3x² + x -38 = 0. Delta = 1² - 4·3·(-38) = 1 + 456 = 457. Então x = [-1 ± v457]/6. Considerando x>0, x = (-1 + v457)/6 ˜ 3,396. Calculam-se AD, DB e AB: AD = 3x-2 ˜ 8,1888 cm; DB = x+1 ˜ 4,3963 cm; AB = AD+DB = 4x-1 ˜ 12,5850 cm. Relações dos catetos: AC² = AD·AB e BC² = DB·AB. Logo AC = v[(3x-2)(4x-1)] ˜ v103,056 ˜ 10,152 cm; BC = v[(x+1)(4x-1)] ˜ v55,327 ˜ 7,436 cm. Resposta final: x = (-1 + v457)/6 ˜ 3,396; AC ˜ 10,152 cm; BC ˜ 7,436 cm.

Explicação

A solução utiliza a propriedade da altura em triângulos retângulos, que relaciona a altura à hipotenusa e os segmentos que ela divide. Ao resolver a equação quadrática resultante, encontra-se o valor de x, que é então utilizado para calcular os comprimentos dos segmentos AD e DB, além da hipotenusa AB. Finalmente, aplicando as relações entre os catetos e a hipotenusa, obtêm-se as medidas dos catetos AC e BC.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Analisar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 desafio

🎯 Conceito central

triângulo retângulo

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

teorema de pitágoras · propriedades do triângulo retângulo

📚 Reveja

Revisar o teorema de Pitágoras e propriedades de triângulos retângulos.

⚠️ Erro mais comum

O aluno pode confundir as relações entre os segmentos AD, DB e a altura CD, levando a um cálculo incorreto das medidas dos catetos.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

cientifico

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