Dado o triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C, AC = 12 cm e BC = 16 cm. A altura CD é traçada sobre a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Dado o triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C, AC = 12 cm e BC = 16 cm. A altura CD é traçada sobre a hipotenusa AB, encontrando D. Calcule comprimento da hipotenusa AB, os segmentos AD e DB e a altura CD, justificando por semelhança ou relações métricas.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Primeiro calcule AB pelo teorema de Pitágoras: AB = v(AC²+BC²) = v(12²+16²) = v(144+256) = v400 = 20 cm. Pelas propriedades das alturas em triângulos retângulos, os triângulos ACD e CBD são semelhantes a ABC. Assim AD = AC²/AB = 144/20 = 36/5 = 7,2 cm e DB = BC²/AB = 256/20 = 64/5 = 12,8 cm. A altura pode ser obtida por CD = (AC·BC)/AB = (12·16)/20 = 192/20 = 48/5 = 9,6 cm (ou CD = v(AD·DB) = v(7,2·12,8) = 9,6 cm). Conclui-se: AB = 20 cm, AD = 36/5 cm, DB = 64/5 cm, CD = 48/5 cm, com justificativa baseada em semelhança de triângulos e relações métricas da altura sobre a hipotenusa.
Explicação
A solução utiliza o teorema de Pitágoras para calcular a hipotenusa, garantindo a precisão do valor encontrado. A semelhança dos triângulos permite determinar os segmentos AD e DB, além de fornecer uma fórmula para calcular a altura CD, que também pode ser verificada por outra abordagem. Assim, todos os valores são obtidos de maneira consistente e fundamentada em propriedades geométricas.
Raio-X da questão
triângulo retângulo
avaliacao
teorema de pitágoras · semelhança de triângulos
Revisar semelhança de triângulos e relações métricas em triângulos retângulos.
O aluno pode confundir a aplicação do teorema de Pitágoras, utilizando os catetos em vez da hipotenusa para calcular a altura.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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