Um túnel reto atravessa o diâmetro da Terra. Um objeto desliza sem atrito pelo túnel. Assumindo Terra esférica…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um túnel reto atravessa o diâmetro da Terra. Um objeto desliza sem atrito pelo túnel. Assumindo Terra esférica de densidade uniforme, R = 6,37×10^6 m e g = 10 m/s², calcule o período T da oscilação usando T = 2p·v(R/g).
- A) T = 2p·v(g/R) para g = 15 m/s²
- B) T = 5,02×10^3 s ˜ 84 min.
- C) T = 4p·v(R/g) para R = 10^7 m
- D) T = 2p·v(g/R²)
- E) T = 5,02×10^2 s
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Dentro de uma Terra esférica de densidade uniforme, a força gravitacional sobre o objeto é proporcional à distância x até o centro (F = -(GMm/R^3)x). Essa força restauradora faz o objeto realizar um movimento harmônico simples. Como g = GM/R^2 na superfície, a frequência angular é ω = raiz de (g/R), e o período é T = 2π/ω = 2π·raiz de (R/g), que é a fórmula dada. Passo 2: Substituindo os valores, R/g = 6,37×10^6 / 10 = 6,37×10^5 s^2. A raiz quadrada de 6,37×10^5 é aproximadamente 798 s. Passo 3: T = 2π × 798 ≈ 5,01×10^3 s. Passo 4: Convertendo para minutos, 5014 / 60 ≈ 83,6 min, que arredondado é 84 min. Passo 5: Conclusão. A alternativa B é a correta e coincide com o gabarito oficial. A alternativa A está errada porque inverte a razão (g/R em vez de R/g) e introduz um valor de g que não está no enunciado. A alternativa C está errada porque multiplica a fórmula por 2 (4π em vez de 2π) e usa R = 10^7 m, uma aproximação que não foi dada. A alternativa D está errada porque g/R^2 não tem dimensão de tempo ao quadrado, então a expressão não pode representar um período. A alternativa E está errada porque 5,02×10^2 s equivale a cerca de 8 min, um erro de ordem de grandeza de dez vezes em relação ao valor correto.
💡 Dica: Substitua os valores na fórmula para encontrar T.
Alternativa por alternativa
Inverteu a razão dentro da raiz, usando g/R em vez de R/g, e ainda assumiu um valor de g = 15 m/s² que não consta no enunciado.
Em uma esfera homogênea a força é linear com r, gerando movimento harmônico simples com ? = v(g/R); portanto T = 2p·v(R/g). Substituindo R = 6,37×10^6 m e g = 10 m/s² obtém-se 5,02×10^3 s.
Acreditou que o período depende de 4π em vez de 2π e aproximou R por 10^7 m, o que não foi pedido nem dado no problema.
Por que engana: Confundir a fórmula do período de oscilação, utilizando a relação incorreta entre g e R.
Trocou R por R^2 dentro da raiz, sem verificar a análise dimensional, pois g/R^2 não resulta em grandeza de tempo ao quadrado.
Fez a conta até a raiz de 6,37×10^5 e depois errou a potência de 10 ao multiplicar por 2π, obtendo 5,02×10^2 s em vez de 5,02×10^3 s.
Raio-X da questão
período de oscilação
avaliacao
período de oscilação · movimento harmônico simples
Revisar a fórmula do período de oscilação em um túnel através da Terra.
Confundir a fórmula do período de oscilação, utilizando a relação incorreta entre g e R.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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