Disserte e calcule: um tablado de madeira modelado como um oscilador massa-mola (massa efetiva do tablado M =…

Questão

Disserte e calcule: um tablado de madeira modelado como um oscilador massa-mola (massa efetiva do tablado M = 600 kg) tem frequência natural f0 = 2,8 Hz. Um grupo de N = 6 dançarinos, massa m = 65 kg cada, pisa sincronizadamente com frequência f = 2,6 Hz causando deslocamento periódico aproximado do pé A = 0,012 m por impacto. Explique como avaliar o risco de ressonância, calcule a força de excitação F0, a constante elástica efetiva k do tablado e a amplitude resultante A_tab do tablado (modelo linear: k = M(2pf0)² e A_tab ˜ F0/k). Indique medidas práticas para reduzir risco de amplificação.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Modelo e passos de cálculo (resposta-modelo): 1) Calcule a força de excitação resultante F0 aproximada usando a aceleração imposta pelos passos: a = (2pf)²·A; F0 ˜ N·m·a. Com N = 6, m = 65 kg, f = 2,6 Hz e A = 0,012 m: ? = 2pf = 16,336 rad/s; ?² = 266,86 s?²; a = ?²·A ˜ 266,86·0,012 ˜ 3,20 m/s²; F0 ˜ 6·65·3,20 ˜ 1,249 N ×10² ˜ 1,249×10³ N (˜ 1,249 kN). 2) Constante elástica efetiva do tablado: k = M(2pf0)². Para M = 600 kg e f0 = 2,8 Hz: ?0 = 2p·2,8 = 17,593 rad/s; ?0² = 309,48 s?²; k = 600·309,48 ˜ 1,8569×105 N/m (˜ 185,7 kN/m). 3) Amplitude estimada do tablado na resposta forçada (região fora de uma análise detalhada de amortecimento): A_tab ˜ F0/k ˜ 1,249×10³ / 1,8569×105 ˜ 6,7×10?³ m (˜ 6,7 mm). Como f está perto de f0, a amplitude pode crescer se houver baixo amortecimento; se f ? f0 e o amortecimento for fraco a resposta aumenta significativamente (risco de ressonância). 4) Medidas para reduzir risco: alterar a frequência dos passos (desincronizar o grupo), aumentar rigidez do piso (aumenta k, deslocando f0), adicionar amortecimento (tapetes, sistemas viscoelásticos, suportes dissipativos), reduzir número de pessoas sincronizadas ou distribuir peso, e reforçar apoios estruturais. Essas ações reduzem F0 efetivo, aumentam k ou aumentam a amplitude de amortecimento, evitando amplificação por ressonância.

Explicação

A explicação aborda os conceitos de ressonância e os parâmetros físicos envolvidos, como a força de excitação, a constante elástica e a amplitude do tablado, permitindo entender o comportamento do sistema sob a ação dos dançarinos. Os cálculos demonstram a relação entre a frequência dos passos e a frequência natural do tablado, evidenciando o risco de amplificação da resposta. As medidas sugeridas para mitigar o risco de ressonância são práticas e eficazes, promovendo a segurança estrutural do tablado.

Raio-X da questão

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