Prove que, se em triângulos ABC e A'B'C' vale AB/A'B' = AC/A'C' e ?A = ?A', então ABC ~ A'B'C'.

Questão

Prove que, se em triângulos ABC e A'B'C' vale AB/A'B' = AC/A'C' e ?A = ?A', então ABC ~ A'B'C'.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Seja k = AB/A'B' = AC/A'C'. Considere o triângulo obtido de A'B'C' por homotetia de razão k centrada em A'. As imagens de B' e C' têm distâncias k·A'B' = AB e k·A'C' = AC em relação a A'; como ?A = ?A' os ângulos formados pelas imagens coincidem com ?A. Portanto existe um triângulo congruente a ABC obtido pela homotetia de A'B'C' ; logo os lados correspondentes são proporcionais e ABC ~ A'B'C' (critério SAS de semelhança aplicada à homotetia).

Explicação

A resposta demonstra que, ao aplicar uma homotetia ao triângulo A'B'C', os lados correspondentes se tornam proporcionais, mantendo a relação entre os lados de ABC e A'B'C'. Além disso, a igualdade dos ângulos garante que os triângulos têm a mesma forma, o que é essencial para a semelhança. Assim, a aplicação do critério SAS de semelhança é justificada, confirmando que os triângulos são semelhantes.

Raio-X da questão

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