Na circunferência de centro O, os pontos A, B, C, D aparecem nessa ordem. As medidas dos arcos menores são…

Questão

Na circunferência de centro O, os pontos A, B, C, D aparecem nessa ordem. As medidas dos arcos menores são m(arc AB)=50°, m(arc BC)=70° e m(arc CD)=80°. (a) Calcule m(arc AD). (b) Determine as medidas de ?AOC (ângulo central que subtende AC), ?ABC (ângulo inscrito em B que subtende AC) e ?ATC, onde T é a interseção das tangentes em A e C. (c) Sabendo que existe um ponto E na circunferência tal que BE ? AC, prove que ?ABC ~ ?ECD e determine a razão de semelhança (orientando correspondência).

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Solução modelo: (a) Soma dos arcos dados: 50°+70°+80°=200°. Como a circunferência tem 360°, m(arc AD)=360°-200°=160°. (b) m(arc AC)=m(arc AB)+m(arc BC)=50°+70°=120°. Logo ?AOC (ângulo central que subtende AC) = 120°. O ângulo inscrito ?ABC que subtende AC é metade do arco AC: ?ABC = 120°/2 = 60°. O ângulo entre tangentes em A e C, ?ATC, intercepta o arco AC; a medida do ângulo formado por duas tangentes é 180° - m(arc AC) = 180° - 120° = 60°. (c) Como BE ? AC, os ângulos inscritos que interceptam o mesmo arcos são iguais: ?ABC é congruente a ?ECD (ambos subtendem arc AC ou correspondem por paralelismo) e ?ACB é congruente a ?EDC. Assim dois pares de ângulos correspondentes são iguais, logo ?ABC ~ ?ECD. Para a razão de semelhança, observe a correspondência de vértices: A?E, B?C, C?D (ou escrevendo ?ABC ~ ?ECD), então razão = AB/EC = BC/CD = AC/ED. Podemos calcular numericamente razões se houvesse comprimentos; com dados apenas angulares, conclui-se a razão de semelhança na forma das proporções entre lados correspondentes: AB:EC = BC:CD = AC:ED. A prova formal usa igualdade de ângulos correspondentes por paralelismo e propriedade de ângulos inscritos.

Explicação

A solução apresentada utiliza propriedades fundamentais da geometria das circunferências, como a relação entre ângulos centrais e inscritos, além da congruência de ângulos subtendidos por arcos iguais. A soma dos arcos e a aplicação das relações de semelhança entre triângulos formados pelos ângulos inscritos garantem a validade das conclusões. A explicação é clara e segue uma lógica sequencial, permitindo a compreensão dos conceitos envolvidos.

Raio-X da questão

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