Em um quadrilátero cíclico ABCD (vértices na mesma circunferência), ?A = (2x + 5)° e ?C = (3x - 20)°…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um quadrilátero cíclico ABCD (vértices na mesma circunferência), ?A = (2x + 5)° e ?C = (3x - 20)°. Determine x e as medidas de ?A e ?C.
- A) x = 80; ?A = 165°; ?C = 69°.
- B) x = 50; ?A = 90°; ?C = 40°.
- C) x = 39; ?A = 83°; ?C = 97°.
- D) x = 20; ?A = 50°; ?C = 60°.
- E) x = 30; ?A = 65°; ?C = 35°.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Em um quadrilátero inscrito em circunferência (cíclico), os ângulos opostos são suplementares, isto é, ângulo A mais ângulo C é igual a 180 graus. Passo 2: Montando a equação: (2x + 5) + (3x - 20) = 180, o que dá 5x - 15 = 180. Passo 3: Isolando x: 5x = 195, logo x = 39. Passo 4: Calculando os ângulos: ângulo A = 2 x 39 + 5 = 83 graus e ângulo C = 3 x 39 - 20 = 97 graus. Passo 5: Verificação: 83 + 97 = 180, então a condição do quadrilátero cíclico está satisfeita. Passo 6: Comparando com o gabarito oficial, a resposta C (x = 39; ângulo A = 83 graus; ângulo C = 97 graus) confere com a resolução. Por que as outras estão erradas: A) com x = 80, o ângulo C seria 220 graus, e não 69 graus; além disso 165 + 69 = 234, diferente de 180. B) com x = 50, os ângulos seriam 105 e 130 graus, e não 90 e 40; a soma 90 + 40 = 130 não é 180. D) com x = 20, os ângulos seriam 45 e 40 graus, e não 50 e 60; a soma 50 + 60 = 110 não é 180. E) com x = 30, o ângulo A de 65 graus está correto, mas o ângulo C seria 70 graus, e não 35; a soma 65 + 35 = 100 não é 180.
💡 Dica: Iguale as expressões para encontrar x.
Alternativa por alternativa
O aluno calculou corretamente o ângulo A com x = 80, mas não verificou se a soma dos opostos dá 180 graus, pois 165 + 69 = 234; ele também não substituiu corretamente 3x - 20 no ângulo C.
Por que engana: O aluno pode confundir a soma dos ângulos opostos em um quadrilátero cíclico, levando a um valor incorreto para x.
O aluno provavelmente acreditou que o ângulo A deveria ser reto (90 graus) e escolheu um x sem resolver a equação da soma dos opostos igual a 180 graus.
Em quadrilátero cíclico, ângulos opostos são suplementares: (2x+5)+(3x-20)=180 ?5x-15=180 ?x=39. Substituindo obtêm-se 83° e 97°.
O aluno provavelmente não montou ou não resolveu corretamente a equação (2x + 5) + (3x - 20) = 180, escolhendo valores que não satisfazem a soma, já que 50 + 60 = 110.
O aluno acertou o ângulo A (65 graus), mas pode ter confundido a propriedade do cíclico com soma de ângulos complementares ou aleatórios, já que 65 + 35 = 100 e não 180.
Raio-X da questão
quadrilátero cíclico
avaliacao
propriedades de quadriláteros cíclicos · resolução de equações
Revisar propriedades de quadriláteros cíclicos e resolução de equações.
O aluno pode confundir a soma dos ângulos opostos em um quadrilátero cíclico, levando a um valor incorreto para x.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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