OBJETIVA (Dificuldade 3). Uma cápsula com fonte de C-14 (meia-vida própria T0 = 5,730×10^3 anos) é…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Utilizar o conhecimento sobre as radiações e suas origens para avaliar as potencialidades e os riscos de sua aplicação em equipamentos de uso cotidiano, na saúde, no ambiente, na indústria, na agricultura e na geração de energia elétrica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
OBJETIVA (Dificuldade 3). Uma cápsula com fonte de C-14 (meia-vida própria T0 = 5,730×10^3 anos) é transportada por uma nave a v = 0,9999c. Calcule a meia-vida observada por um laboratório na Terra T = ?·T0. (c = 3,00×10^8 m/s).
- A) ? ˜ 10; T ˜ 5,73×10^4 anos
- B) ? ˜70,71; T ˜4,05×10^5 anos.
- C) ? ˜ 50; T ˜ 2,86×10^5 anos
- D) ? ˜ 100; T ˜ 5,73×10^6 anos
- E) ? ˜ 30; T ˜ 1,72×10^5 anos
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Identifique o conceito. A dilatação temporal da relatividade especial faz com que um relógio em movimento, como a cápsula da nave, pareça funcionar mais devagar para um observador parado na Terra. Logo, a meia-vida observada na Terra é T = gama x T0, em que gama = 1/raiz(1 - v^2/c^2).
- Calcule v^2/c^2. Como v = 0,9999c, temos v^2/c^2 = 0,9999^2 = 0,99980001.
- Calcule 1 - v^2/c^2 = 1 - 0,99980001 = 0,00019999, cuja raiz quadrada é aproximadamente 0,014142.
- Calcule o fator de Lorentz: gama = 1 / 0,014142 ≈ 70,71. Logo, ? ≈ 70,71.
- Calcule a meia-vida observada: T = 70,71 x 5,730x10^3 anos ≈ 4,05x10^5 anos, ou seja, T ≈ 70,71 T0 ≈ 4,05x10^5 anos.
- Compare com o gabarito. O resultado obtido coincide com a alternativa B, que é o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A subestima o fator de Lorentz ao usar aproximadamente 10; C e E têm fatores de Lorentz menores que o correto por erros no cálculo da raiz quadrada; D superestima o fator ao tratar 1 - v^2/c^2 como 1 - v/c, o que resulta em 100.
💡 Dica: Utilize a fórmula da dilatação do tempo para resolver a questão.
Alternativa por alternativa
O aluno aproximou 0,9999 para 0,99 ao elevar ao quadrado e obteve gama = 1/raiz(0,01) = 10, o que faz a meia-vida parecer apenas 10 vezes maior.
ß=0,9999 ?1-ß^2˜0,00019999, v˜0,014142 ??˜70,71. T=?·5730 yr˜70,71·5730˜4,05×10^5 anos.
O aluno errou a simplificação de 1 - v^2/c^2 e chegou a um valor de gama próximo de 50, o que resulta em T ≈ 2,86x10^5 anos.
O aluno tratou 1 - v^2/c^2 como 1 - v/c, ignorando o fator 2 da expansão. Isso dá gama = 1/raiz(0,0001) = 100 e T ≈ 5,73x10^6 anos.
Por que engana: Confundir a dilatação do tempo com a simples multiplicação da meia-vida pelo fator de Lorentz, sem considerar a velocidade da nave.
O aluno cometeu um erro de cálculo na raiz quadrada do denominador do fator de Lorentz, obtendo gama próximo de 30 e T ≈ 1,72x10^5 anos.
Raio-X da questão
dilatação do tempo
avaliacao
dilatação do tempo · meia-vida de isótopos
Revisar a teoria da relatividade e a dilatação do tempo.
Confundir a dilatação do tempo com a simples multiplicação da meia-vida pelo fator de Lorentz, sem considerar a velocidade da nave.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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