Dissertativa — Em uma roda de dança comunitária, dois participantes de massas m1 = 60 kg e m2 = 48 kg giram em…

Questão

Dissertativa — Em uma roda de dança comunitária, dois participantes de massas m1 = 60 kg e m2 = 48 kg giram em torno do centro do círculo com distâncias r1 = 0,60 m e r2 = 0,80 m do eixo, ambos com velocidade angular inicial ?i = 1,50 rad/s. Considere que cada participante pode ser aproximado como massa pontual (I = m r²). Um terceiro participante de massa m3 = 55 kg aproxima-se e se prende ao grupo a r3 = 0,40 m, inicialmente sem girar em relação ao solo. Assumindo ausência de torques externos, explique e calcule (1) a velocidade angular final ?f do sistema após a entrada do terceiro, (2) as energias rotacionais inicial e final, e (3) por que a energia rotacional muda mesmo com conservação do momento angular. Use L = I·? e K = ½ I ?². (Apresente cálculos e interpretação física.)

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Modelo de resolução: 1) Calcule o momento de inércia inicial I_i somando as massas pontuais: I_i = m1·r1² + m2·r2² = 60·(0,60)² + 48·(0,80)² = 60·0,36 + 48·0,64 = 21,6 + 30,72 = 52,32 kg·m². Momento angular inicial L_i = I_i·?i = 52,32·1,50 = 78,48 kg·m²/s. Momento de inércia do terceiro I3 = m3·r3² = 55·(0,40)² = 55·0,16 = 8,80 kg·m². I_f = I_i + I3 = 52,32 + 8,80 = 61,12 kg·m². Logo ?f = L_i / I_f = 78,48 / 61,12 ˜ 1,284 rad/s. 2) Energias rotacionais: K_i = ½ I_i ?i² = 0,5·52,32·(1,50)² = 0,5·52,32·2,25 = 58,86 J. K_f = ½ I_f ?f² = 0,5·61,12·(1,284)² ˜ 0,5·61,12·1,648 ˜ 50,35 J. Variação ?K = K_f - K_i ˜ 50,35 - 58,86 = -8,51 J (energia diminui). 3) Interpretação: o momento angular L é conservado porque não há torque externo; porém a energia rotacional não é conservada durante a captura do terceiro participante. Parte da energia rotacional inicial é dissipada ou transformada em energia interna (atrito, deformações musculares) quando os corpos se aproximam e se prendem — o processo é análogo a uma colisão inelástica em rotação. Assim há redução da energia cinética rotacional apesar da conservação de L. Se o terceiro tivesse sido impulsionado pelos demais sem dissipação, trabalho interno poderia alterar a energia, mas na prática parte é convertida em calor e trabalho muscular.

Explicação

A análise do momento de inércia e do momento angular mostra que, ao adicionar uma nova massa ao sistema, a velocidade angular diminui, mantendo a conservação do momento angular. A energia rotacional inicial é maior que a final devido à dissipação de energia durante a interação dos participantes, semelhante a uma colisão inelástica. Essa transformação de energia é comum em sistemas onde forças internas atuam, resultando em perdas que não afetam o momento angular total.

Raio-X da questão

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