Matemática1ª sérieBNCC EM13MAT308Média⏱ medio

Na circunferência de centro O e raio r = 10 cm, a corda AB mede 12 cm. Determine, em graus, a medida do ângulo…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT308

Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Na circunferência de centro O e raio r = 10 cm, a corda AB mede 12 cm. Determine, em graus, a medida do ângulo central ?AOB que intercepta a corda AB.

A) ? = 120°
B) ? = 36,87°
C) ? = 106,26°
D) ?AOB ˜ 73,74°
E) ? = 147,48°

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

Trace os raios OA e OB. O triângulo AOB é isósceles, com OA = OB = 10 cm, e AB = 12 cm. Passo 2: Trace, a partir de O, a perpendicular à corda AB. Ela divide o triângulo em dois triângulos retângulos congruentes e encontra AB no ponto médio M, de modo que AM = 6 cm. Passo 3: No triângulo retângulo OMA, o seno do ângulo AOM (metade do ângulo central) vale AM/OA = 6/10 = 0,6. Logo, o ângulo AOM é arcsen(0,6), aproximadamente 36,87 graus. Passo 4: O ângulo central AOB é o dobro de AOM, ou seja, aproximadamente 2 x 36,87 = 73,74 graus. Verificação pela fórmula da corda: AB^2 = 2r^2(1 - cos(AOB)), ou seja, 144 = 200(1 - cos(AOB)), então cos(AOB) = 0,28 e AOB = 73,74 graus. Passo 5: Por que as outras estão erradas. A (120 graus) não satisfaz a relação da corda, pois cos(120 graus) = -0,5 daria corda de 17,32 cm. B (36,87 graus) é apenas a metade do ângulo central. C (106,26 graus) é o suplemento de 73,74 graus, e o suplemento não é o ângulo central que intercepta a corda. E (147,48 graus) é o dobro de 73,74 graus, portanto o ângulo foi dobrado indevidamente. Gabarito oficial D confirmado.

💡 Dica: Trace o raio até o ponto médio da corda e use o triângulo retângulo formado para encontrar metade do ângulo central.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Conceitual

Associa a corda de 12 cm a um ângulo central de 120 graus, como se o triângulo AOB fosse equilátero ou se a corda fosse aproximadamente um lado de hexágono regular inscrito. Não verifica a relação entre a corda e o ângulo central.

B Erradaerro: Procedimental

Calcula corretamente o ângulo AOM com seno igual a 0,6, mas esquece que o ângulo central AOB é o dobro desse valor.

C Erradaerro: Conceituala que mais engana

Obtém 73,74 graus, mas responde o suplemento, 180 - 73,74 = 106,26 graus, confundindo o ângulo central interceptado pela corda com o ângulo do lado oposto ou do arco maior.

Por que engana: O aluno pode confundir o ângulo central com o ângulo inscrito ou usar a corda inteira como cateto, sem considerar que o raio perpendicular à corda a divide ao meio.

D Correta

Para corda c e raio r, c = 2r·sin(?/2). Aqui 12 = 2·10·sin(?/2) ? sin(?/2)=0,6 ? ?/2˜36,87° ? ?˜73,74°.

E Erradaerro: Procedimental

Calcula o ângulo AOM como 73,74 graus, em vez de 36,87 graus, e depois dobra esse valor, obtendo 147,48 graus. Erra a etapa de metade do ângulo.

Raio-X da questão

Dificuldade Média

Bloom Aplicar

Leitura baixo

Discriminação medio

Peso pedagógico medio

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade dupla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 progressao

🎯 Conceito central

Ângulo central e corda

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

Teorema de Pitágoras · Razões trigonométricas no triângulo

📚 Reveja

Revise a relação entre cordas, raios e ângulos centrais em uma circunferência.

⚠️ Erro mais comum

O aluno pode confundir o ângulo central com o ângulo inscrito ou usar a corda inteira como cateto, sem considerar que o raio perpendicular à corda a divide ao meio.

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

abstrato

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