Matemática7º anoBNCC EF07MA22Difícil⏱ longo

Em uma circunferência de centro O, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência e os cordões AB e CD são…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EF07MA22

Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Em uma circunferência de centro O, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência e os cordões AB e CD são paralelos (AB ? CD). Seja P um ponto da circunferência distinto de A, B, C e D, e admita-se que os triângulos inscritos PAB e PCD são semelhantes. Sabe-se que o ângulo inscrito ?APB = 48°. a) Justifique por que os arcos AD e BC têm a mesma medida. b) Determine a medida do ângulo inscrito ?CPD. Apresente justificativas usando relações entre arcos, ângulos centrais/inscritos e semelhança de triângulos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Pela semelhança PAB ~ PCD, os ângulos correspondentes são iguais; em particular ?APB = ?CPD. Logo ?CPD = 48°. 2) A medida do arco subtendido por um ângulo inscrito é o dobro da medida do ângulo: m(arc AB) = 2·?APB = 2·48° = 96°. Pela semelhança segue m(arc CD) = 96°. 3) A soma das medidas dos quatro arcos que cobrem a circunferência é 360°, então m(arc AD)+m(arc AB)+m(arc BC)+m(arc CD)=360°. Substituindo m(arc AB)=m(arc CD)=96° obtém-se m(arc AD)+m(arc BC)=360°-192°=168°. 4) Como AB ? CD os arcos entre os extremos dos cordões (os arcos AD e BC) correspondem à mesma porção da circunferência à direita e à esquerda da região entre os cordões; combinando essa simetria com a igualdade das demais medidas, temos m(arc AD)=m(arc BC)=168°/2=84°. 5) Em particular, qualquer ângulo inscrito que intercepte o arco AD mede 84°/2 = 42°. Resumo: ?CPD = 48°; m(arc AD)=m(arc BC)=84°; m(arc AB)=m(arc CD)=96°.

Explicação

A semelhança dos triângulos PAB e PCD garante que os ângulos correspondentes são iguais, permitindo concluir que ?CPD = ?APB = 48°. A relação entre ângulos inscritos e arcos determina que o arco subtendido por ?APB é o dobro do ângulo, resultando em m(arc AB) = m(arc CD) = 96°. A simetria dos arcos AD e BC, devido à paralelidade dos cordões, leva à conclusão de que m(arc AD) = m(arc BC) = 84°.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Analisar

Leitura alto

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ situacional🧩 desafio

🎯 Conceito central

semelhança de triângulos

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

semelhança de triângulos · ângulos inscritos e centrais

📚 Reveja

Revisar as propriedades dos ângulos inscritos e ângulos centrais.

⚠️ Erro mais comum

O aluno pode confundir a relação entre ângulos inscritos e arcos, não aplicando corretamente a semelhança dos triângulos para justificar as medidas dos ângulos.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

cientifico

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