Em uma circunferência de centro O, as retas paralelas r e s intersectam a circunferência nos pontos A e B…

Questão

Em uma circunferência de centro O, as retas paralelas r e s intersectam a circunferência nos pontos A e B (sobre r, na ordem A então B) e C e D (sobre s, na ordem C então D). Os pontos, no sentido horário, são A, B, C, D. As medidas dos arcos menores AB e CD são, respectivamente, 2x + 20° e 3x - 10°. Sabe-se que o arco menor BC mede 40°. Seja P um ponto qualquer do arco BC. a) Determine o valor de x. b) Calcule a medida do ângulo inscrito ?APD. c) Calcule a medida do ângulo central ?AOD. Justifique cada passo.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Como r ? s, os arcos interceptados por posições correspondentes são iguais, logo AB = CD. Assim 2x+20 = 3x-10 ? x = 30. 2) AB = 2x+20 = 80° e CD = 80°. 3) Soma dos arcos menores: AB+BC+CD+DA = 360°, então DA = 360-(80+40+80) = 160°. 4) ?APD é um ângulo inscrito que subtende o arco AD, portanto m?APD = ½·m(arc AD) = ½·160° = 80°. 5) ?AOD é o ângulo central que subtende o arco AD, então m?AOD = m(arc AD) = 160°. (Justificativas: igualdade de arcos por paralelismo das retas; soma das medidas dos arcos = 360°; teorema do ângulo inscrito; definição de ângulo central.)

Explicação

A igualdade dos arcos AB e CD é fundamentada pela propriedade das retas paralelas, que garante que arcos correspondentes são iguais. A soma dos arcos em uma circunferência é sempre 360°, permitindo o cálculo do arco DA. Por fim, as medidas dos ângulos inscritos e centrais são determinadas pelas relações com os arcos que subtendem, utilizando as definições e teoremas pertinentes.

Raio-X da questão

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