Matemática8º anoBNCC EF08MA02Difícil⏱ longo

Explique como seria possível determinar se a raiz quadrada de 2 é um número irracional e quais as implicações…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EF08MA02

Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Explique como seria possível determinar se a raiz quadrada de 2 é um número irracional e quais as implicações disso na matemática.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

A raiz quadrada de 2 é considerada irracional pois não pode ser expressa como uma fração. Para demonstrar sua irracionalidade, podemos usar uma prova por contradição. Assume-se que v2 é racional, ou seja, pode ser escrito como uma fração a/b (com a e b inteiros e sem fatores em comum). Elevando ambos os lados ao quadrado, tem-se 2 = a²/b², o que implica que a² = 2b². Isso significa que a² é par, logo a também é. Se a é par, podemos escrever a como 2k (onde k é um inteiro), e substituindo obtemos 2k² = b², o que implica que b também é par. Portanto, tanto a quanto b são pares, o que contradiz nossa suposição inicial de que a/b não possui fatores em comum. Essa contradição leva à conclusão de que v2 é irracional e demonstra a riqueza dos números reais na matemática.

Explicação

A resposta apresenta uma prova por contradição que demonstra claramente a irracionalidade da raiz quadrada de 2, utilizando a relação entre números pares e ímpares. Ao mostrar que a suposição inicial leva a uma contradição, a explicação reforça a ideia de que a raiz quadrada de 2 não pode ser expressa como uma fração. Essa conclusão tem implicações significativas na matemática, pois evidencia a existência de números irracionais e enriquece a compreensão dos números reais.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Avaliar

Leitura alto

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ interpretativa🧩 desafio

🎯 Conceito central

números irracionais

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

números racionais e irracionais · propriedades das raízes quadradas

📚 Reveja

Revisar a definição de números irracionais e suas propriedades.

⚠️ Erro mais comum

O aluno pode confundir a definição de números racionais e irracionais, afirmando que a raiz quadrada de 2 é um número racional por não entender a diferença entre eles.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

abstrato

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