A diagonal de um quadrado com lado de 1 unidade é um número racional? Justifique.
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A diagonal de um quadrado com lado de 1 unidade é um número racional? Justifique.
- A) Sim, é 1,414
- B) Não, é v2
- C) Sim, é 2
- D) Não, é 1
- E) Sim, é 1,5
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Pelo teorema de Pitágoras, a diagonal d de um quadrado de lado 1 satisfaz d^2 = 1^2 + 1^2 = 2, logo d = raiz de 2 (a alternativa B escreve v2, que é raiz de 2). Passo 2: Para mostrar que raiz de 2 não é racional, suponha por absurdo que raiz de 2 = p/q, com p e q inteiros sem fator comum. Então p^2 = 2q^2, o que faz p^2 ser par e, portanto, p ser par. Escrevendo p = 2k, temos 4k^2 = 2q^2, ou seja, q^2 = 2k^2, e q também seria par. Isso contradiz a hipótese de que p e q não têm fator comum. Logo raiz de 2 não é racional, e a resposta correta é 'Não, é raiz de 2', que coincide com o gabarito B. Passo 3: Por que as outras estão erradas: A) 1,414 é apenas uma aproximação decimal de raiz de 2 e, sendo um decimal finito (1414/1000), é racional; C) 2 é racional e não é a diagonal, pois 2^2 = 4, não 2; D) 1 é racional e é o próprio lado, não a diagonal; E) 1,5 é igual a 3/2, racional, e 1,5^2 = 2,25, então também não é a diagonal.
💡 Dica: Considere a fórmula da diagonal do quadrado.
Alternativa por alternativa
Acredita que um número escrito com vírgula e poucas casas decimais é exato e, por isso, racional; confunde a aproximação decimal de raiz de 2 com o seu valor verdadeiro.
Por que engana: Confundir a diagonal do quadrado com um número racional, acreditando que é um valor simples como 1,5 ou 2.
A diagonal é v2, um número irracional.
Supõe que a diagonal é a soma dos dois lados (1 + 1 = 2) e ignora o teorema de Pitágoras, que exige elevar ao quadrado e somar.
Acha que a diagonal deve ter o mesmo comprimento do lado, guiado pela intuição visual de que o quadrado é 'igual' em todas as direções.
Estima que a diagonal está entre 1 e 2 e escolhe um valor médio racional, sem verificar que 1,5 elevado ao quadrado dá 2,25 e não 2.
Raio-X da questão
diagonal de quadrado
avaliacao
números racionais e irracionais · propriedades de quadrados
Revisar a relação entre lados e diagonais de quadrados.
Confundir a diagonal do quadrado com um número racional, acreditando que é um valor simples como 1,5 ou 2.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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