Em uma pesquisa, 70% das pessoas disseram preferir café a chá. Considerando que as respostas de 15 pessoas…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de probabilidade de eventos em experimentos aleatórios sucessivos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma pesquisa, 70% das pessoas disseram preferir café a chá. Considerando que as respostas de 15 pessoas sejam independentes, será analisada a quantidade de pessoas que prefere café. Qual é, aproximadamente, a probabilidade de que pelo menos 12 das 15 pessoas entrevistadas prefiram café?
- A) Aproximadamente 0,30.
- B) Aproximadamente 0,15.
- C) Aproximadamente 0,70.
- D) Aproximadamente 0,09.
- E) Aproximadamente 0,17.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique o modelo. Cada pessoa responde de forma independente, com probabilidade de 0,7 de preferir café, então X (número de pessoas que preferem café em 15) segue uma distribuição binomial com n = 15 e p = 0,7. Queremos P(X >= 12) = P(X = 12) + P(X = 13) + P(X = 14) + P(X = 15). Passo 2: Calcule P(X = k) = C(15, k) x 0,7^k x 0,3^(15 - k). Para k = 12: C(15, 12) = 455, 0,7^12 é aproximadamente 0,01384 e 0,3^3 = 0,027, logo P(X = 12) é aproximadamente 0,1700. Passo 3: Para k = 13: C(15, 13) = 105, 0,7^13 é aproximadamente 0,00969 e 0,3^2 = 0,09, logo P(X = 13) é aproximadamente 0,0916. Passo 4: Para k = 14: C(15, 14) = 15, 0,7^14 é aproximadamente 0,00678 e 0,3^1 = 0,3, logo P(X = 14) é aproximadamente 0,0305. Para k = 15: 0,7^15 é aproximadamente 0,00475. Passo 5: Some as probabilidades: 0,1700 + 0,0916 + 0,0305 + 0,0047 é aproximadamente 0,297, ou seja, cerca de 0,30. Passo 6: Conclusão. A alternativa A está correta e coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: B (0,15) é um valor próximo de uma parcela isolada da soma, não do total; C (0,70) é apenas a probabilidade de uma pessoa preferir café, e não a de pelo menos 12 em 15; D (0,09) corresponde apenas a P(X = 13), deixando de fora os outros casos; E (0,17) corresponde apenas a P(X = 12), também sem somar os demais valores.
💡 Dica: Calcule a probabilidade usando a distribuição binomial.
Alternativa por alternativa
“Pelo menos 12” inclui os casos de exatamente 12, 13, 14 ou 15 pessoas. Assim, calculamos: P(X≥12) = C(15,12)·0,7¹²·0,3³ + C(15,13)·0,7¹³·0,3² + C(15,14)·0,7¹⁴·0,3 + 0,7¹⁵. A soma é aproximadamente 0,297, que arredondada para duas casas decimais resulta em 0,30.
O aluno provavelmente calculou apenas uma parcela da soma, ou tomou uma probabilidade intermediária como se fosse a resposta final, sem considerar todos os valores de X de 12 a 15.
O aluno confundiu a probabilidade individual de preferir café (0,7) com a probabilidade pedida sobre o grupo inteiro de 15 pessoas, ignorando a necessidade de um cálculo binomial.
Por que engana: Confundir a soma das probabilidades de eventos complementares ou calcular apenas a probabilidade de exatamente 12 pessoas preferirem café, ignorando 'pelo menos 12'.
O aluno calculou apenas P(X = 13), ou seja, exatamente 13 pessoas, em vez de pelo menos 12, esquecendo de somar as probabilidades dos casos 12, 14 e 15.
O aluno calculou apenas P(X = 12), exatamente 12 pessoas, sem somar os casos de 13, 14 e 15 que também cumprem a condição de pelo menos 12.
Raio-X da questão
probabilidade binomial
avaliacao
probabilidade binomial · calculo de combinacoes
Revisar a fórmula da distribuição binomial e suas aplicações.
Confundir a soma das probabilidades de eventos complementares ou calcular apenas a probabilidade de exatamente 12 pessoas preferirem café, ignorando 'pelo menos 12'.
tomada_decisao
cotidiano
Questões parecidas com resolução
- Em uma pesquisa, 70% dos entrevistados preferem café a chá. Qual a probabilidade de escolher um entrevistado que prefere…
- Uma pesquisa com 100 pessoas revelou que 70 preferem café e 30 preferem chá. Qual a probabilidade de escolher…
- Em uma escola pública brasileira, uma pesquisa indicou que 70% dos estudantes gostam de Matemática. Para uma atividade…
- Uma escola realizou uma pesquisa sobre a preferência dos estudantes por Matemática. Os resultados indicaram que 70% dos…
- Se em uma pesquisa 70% dos alunos preferem matemática, qual a probabilidade de um aluno escolhido aleatoriamente gostar…
- Em uma pesquisa, 70% dos alunos preferem matemática. Se escolhermos um aluno aleatoriamente, qual a probabilidade dele…
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog