Grandeza diretamente proporcional: exercícios com gabarito

Eu já percebi que proporcionalidade parece simples até a turma encontrar uma situação em que duas grandezas apenas aumentam juntas, mas não mantêm uma razão constante. É aí que surgem respostas como “se cresce, então é diretamente proporcional”. Para evitar esse atalho, costumo trabalhar com tabelas, gráficos e perguntas de verificação.

Na minha prática, exercícios curtos e bem comentados funcionam melhor do que uma lista extensa sem devolutiva. Abaixo reuni critérios que uso e questões do GeraProva para transformar o erro em diagnóstico: o estudante não apenas marca uma alternativa, mas entende qual ideia matemática precisa revisar.

O que é uma grandeza diretamente proporcional?

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando variam na mesma razão constante: se uma dobra, a outra dobra; se uma triplica, a outra triplica. Em linguagem algébrica, posso escrever y = kx, em que k é a constante de proporcionalidade. Isso não quer dizer apenas que as duas aumentam juntas; é necessário que a divisão y/x permaneça igual nos pares comparados. Por exemplo, se 2 metros de tecido custam R$ 18 e 4 metros custam R$ 36, o preço é diretamente proporcional ao comprimento, com k = 9 reais por metro. No gráfico, quando a relação é linear e direta, vejo uma reta crescente que passa pela origem. No GeraProva, eu consigo selecionar habilidade, dificuldade e tipo de raciocínio para criar itens que cobrem justamente essa distinção, essencial em EF08MA12 e em habilidades do ensino médio.

Eu proponho um teste de dois passos antes de aceitar uma relação como proporcional:

• Razão: divido uma grandeza pela outra e verifico se o resultado se conserva.
• Escala: observo se multiplicar uma variável por um número multiplica a outra pelo mesmo número.

Também explicito uma armadilha importante: altura e peso, horas de estudo e nota, ou peso da carga e potência podem estar associados, mas associação não é proporcionalidade.

Como ensinar proporcionalidade direta sem confundir a turma?

Para ensinar proporcionalidade direta sem confundir a turma, eu começo por uma situação controlada, monto uma tabela e só depois passo para a fórmula e o gráfico. Escolho, por exemplo, preço por quilograma com valor unitário fixo: 1 kg, 2 kg e 3 kg correspondem a 8, 16 e 24 reais. Peço que os estudantes encontrem o quociente preço/quilograma, identifiquem o 8 constante e prevejam um novo valor. Em seguida, apresento um contraexemplo, como horas de estudo e nota, para mostrar que crescer junto não basta. Por fim, comparo relações lineares com grandezas proporcionais ao quadrado, como lado e área de um quadrado. Essa sequência em três movimentos — tabela, razão e gráfico — torna visível o critério matemático e reduz a memorização mecânica.

Um roteiro que eu uso em 15 minutos

• Apresento três pares de valores e peço previsões antes de calcular.
• Registro a razão constante ou mostro por que ela muda.
• Peço uma representação no plano cartesiano.
• Fecho com a pergunta: “a reta passa pela origem?” quando a relação for linear.

Quando o conteúdo envolve área, eu separo os nomes: o lado pode ser diretamente proporcional ao perímetro, mas a área é proporcional ao quadrado do lado. Essa comparação evita que a turma aplique y = kx onde a regra correta é y = kx².

Como avaliar grandezas proporcionais na prática?

Para avaliar grandezas proporcionais na prática, eu distribuo a atividade em três níveis: reconhecer uma razão constante, justificar a classificação e interpretar a representação gráfica. Em uma sondagem de 8 questões, costumo usar 3 itens diretos com tabela, 3 que diferenciam proporcionalidade direta, inversa e ausência de proporcionalidade, e 2 que relacionam área, perímetro ou contexto científico. Assim, não avalio apenas a conta: observo se o estudante sabe explicar por que uma relação é ou não proporcional. O GeraProva ajuda porque cada questão já vem com habilidade BNCC, nível de Bloom, dificuldade, dica e conceito para revisão; isso torna a correção mais útil para replanejar. Se muitos marcam uma relação apenas porque ambas as variáveis crescem, sei que preciso retomar razão constante, não repetir toda a unidade.

Na correção, eu classifico os erros mais frequentes:

• Confusão entre crescimento e proporcionalidade: a razão não foi testada.
• Confusão entre direta e inversa: o produto constante não foi verificado.
• Confusão entre reta e curva: a turma ainda não distingue x de x².

Para variar versões, níveis e habilidades sem perder tempo copiando enunciados, vale começar pelo cadastro grátis e gerar uma nova lista a partir desses diagnósticos.

Questões prontas com gabarito comentado

Estas seis questões mostram como eu avaliaria proporcionalidade sem ficar preso a uma única fórmula. Elas percorrem reconhecimento de área quadrática, análise de relações cotidianas, proporcionalidade inversa, leitura de gráfico científico e comparação entre perímetro e área. Em cada item, o dado pedagógico importa tanto quanto a resposta: código BNCC indica a habilidade mobilizada; o nível de Bloom revela a operação cognitiva predominante; e a dica aponta um caminho sem entregar o resultado. Eu usaria as questões 1 e 2 como diagnóstico, as 3 e 6 para aprofundar gráficos e funções, e as 4 e 5 para conectar Matemática a situações aplicadas. O comentário de cada distrator permite uma devolutiva precisa: não basta dizer que a alternativa está errada; eu mostro qual critério foi esquecido.

1. Área de placas quadradas

Enunciado: Em uma obra, placas quadradas foram testadas para diferentes medidas de lado x. O gráfico mostra a área A obtida em cada caso. Com base nos dados, qual relação representa uma variável diretamente proporcional ao quadrado da outra?

• ❌ A) A = x — seria uma relação linear; os pontos não crescem na mesma razão.
• ❌ B) A = 2*x — A não é o dobro de x em todos os pontos.
• ✅ C) A = x**2 — 1, 4, 9, 16 e 25 são os quadrados de 1, 2, 3, 4 e 5.
• ❌ D) A = x**2 + 1 — para x=1, daria 2, e o gráfico indica 1.
• ❌ E) A = 2*x**2 — os valores observados não são o dobro de x².

Dica de resolução: analise o gráfico e compare A com x². Conceito central: proporcionalidade direta e área. Conceito para revisão: área do quadrado. BNCC: EM13MAT402. Bloom: Compreender.

2. Relações do cotidiano

Enunciado: Identifique se as grandezas a seguir são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais: altura e peso de uma pessoa e o número de horas de estudo e a nota em uma prova.

• ❌ A) Altura e peso não proporcionais; horas e nota proporcionais — estudar mais não garante aumento em razão constante.
• ❌ B) Ambas diretamente proporcionais — nenhuma razão constante é garantida.
• ❌ C) Ambas inversamente proporcionais — não há produto constante entre elas.
• ✅ D) Ambas não proporcionais — altura/peso e horas/nota não mantêm razão fixa.
• ❌ E) Altura e peso diretamente proporcionais; horas e nota não proporcionais — altura e peso não têm razão constante.

Dica de resolução: verifique razão constante ou razão inversa. Conceito central: grandezas proporcionais e não proporcionais. Conceito para revisão: associação não é proporcionalidade. BNCC: EF08MA12. Bloom: Analisar.

3. Razão constante na área

Enunciado: Uma marcenaria compara a área A de tampos quadrados com o lado l da peça. O gráfico mostra os valores medidos. Com base nos dados, qual razão permanece constante e confirma que A é diretamente proporcional ao quadrado de l?

• ❌ A) A/l — produz 1, 2, 3, 4 e 5; portanto, varia.
• ❌ B) A - l — os resultados 0, 2, 6, 12 e 20 não são fixos.
• ❌ C) l/A — cai de 1 para 0,2.
• ✅ D) A/l² — vale 1 em todos os dados e confirma A = l².
• ❌ E) A²/l — cresce e não permanece constante.

Dica de resolução: calcule A/l². Conceito central: proporcionalidade direta quadrática. Conceito para revisão: área e lado do quadrado. BNCC: EM13MAT314. Bloom: Analisar.

4. Transporte e variação inversa

Enunciado: Gestores observam que: 1. distância dobrada dobra o combustível; 2. dobrar trabalhadores reduz à metade o tempo de carregamento; 3. mais peso exige mais potência, sem fator constante. Qual par apresenta variação inversamente proporcional?

• ✅ A) Número de trabalhadores e tempo de carregamento — dobrar um reduz o outro à metade.
• ❌ B) Distância e tempo de carregamento — o texto não relaciona essas grandezas.
• ❌ C) Tempo e combustível — não há relação informada.
• ❌ D) Peso e potência — há crescimento, mas sem fator constante.
• ❌ E) Distância e combustível — ambas dobram; a relação é direta.

Dica de resolução: procure o par cujo produto se mantém. Conceito central: variação inversamente proporcional. Conceito para revisão: características da relação inversa. BNCC: EF08MA12. Bloom: Aplicar.

5. Pressão e temperatura

Enunciado: Um gráfico relaciona temperatura e pressão de um gás. Sabendo que a pressão é diretamente proporcional à temperatura, como descrever a relação?

• ❌ A) A pressão diminui — ela aumenta com a temperatura.
• ❌ B) A pressão permanece constante — ela varia.
• ✅ C) A pressão aumenta linearmente — a relação direta é linear.
• ❌ D) A temperatura é inversamente proporcional — o enunciado informa proporcionalidade direta.
• ❌ E) Não há relação — há relação clara entre as variáveis.

Dica de resolução: acompanhe o crescimento conjunto no gráfico. Conceito central: pressão e temperatura. Conceito para revisão: gás ideal. BNCC: EM13CNT205. Bloom: Analisar.

6. Perímetro e área do hexágono

Enunciado: Em placas hexagonais regulares de lado x, passar de 3 cm para 6 cm dobra o perímetro e quadruplica a área. Qual relação gráfica correta descreve área e perímetro em função de x?

• ❌ A) Perímetro em curva e área em reta — inverte os comportamentos.
• ❌ B) Ambos em retas — a área não é linear.
• ❌ C) Reta e curva decrescentes — ambas crescem quando x aumenta.
• ✅ D) Perímetro em reta crescente e área em curva crescente — o primeiro varia com x, a segunda cresce mais rapidamente.
• ❌ E) Ambas em curvas — o perímetro é linear.

Dica de resolução: compare crescimento linear e quadrático. Conceito central: relação perímetro e área. Conceito para revisão: funções lineares e quadráticas. BNCC: EM13MAT506. Bloom: Avaliar.

Como transformar os resultados em próxima aula?

Para transformar resultados em próxima aula, eu não separo os estudantes apenas entre quem acertou e quem errou; eu agrupo as respostas pelo tipo de raciocínio que apareceu. Quem escolheu alternativas lineares nos itens de área precisa manipular medidas e comparar x com x². Quem confundiu relações cotidianas com proporcionalidade precisa construir tabelas e testar razões. Já quem errou a questão inversa precisa trabalhar com o produto constante, usando situações como trabalhadores e tempo. Com esses grupos, planejo uma retomada de 20 minutos, uma nova questão paralela e uma saída rápida com uma justificativa escrita. O ganho de usar itens comentados no GeraProva é ter a habilidade, o nível cognitivo e o conceito de revisão organizados desde o início, sem transformar a correção em uma pilha de anotações soltas.

Eu fecho a aula pedindo uma frase completa: “Estas grandezas são diretamente proporcionais porque...”. Se o estudante menciona razão constante, escala equivalente ou reta pela origem quando pertinente, há evidência de compreensão; se disser apenas “porque as duas aumentam”, já sei exatamente de onde retomar.

As questões e os comentários são um ponto de partida para adaptar à sua turma, não uma receita pronta. Se quiser economizar tempo na montagem e na análise das avaliações, experimente o GeraProva e ajuste cada atividade ao seu planejamento.