Atividades de Sistema de equações polinomiais de 1º grau: resolução algébrica e representação no plano cartesiano para a 3ª série do Ensino Médio com gabarito

Quando trabalho sistemas de equações do 1º grau na 3ª série, procuro aproximar duas leituras que às vezes aparecem separadas na prova: a manipulação algébrica e a representação no plano cartesiano. Uma igualdade entre expressões pode ser resolvida por substituição ou adição; graficamente, a solução de duas equações lineares corresponde ao ponto em que as retas se encontram. Esse vínculo ajuda a turma a interpretar o que cada variável representa, verificar resultados e perceber quando um par ordenado satisfaz as condições do problema.

As atividades abaixo oferecem exemplos de equações, retas, interseção e interpretação de informações. A seleção recebida também contém questões de função quadrática, geometria e área. Eu as mantenho porque fazem parte do conjunto validado, mas sinalizo o conteúdo de cada uma: são úteis para revisar competências próximas e não devem ser apresentadas como se todas avaliassem diretamente sistemas lineares.

O que o aluno de 3ª série precisa saber sobre Sistema de equações polinomiais de 1º grau: resolução algébrica e representação no plano cartesiano

Na 3ª série, espero que o estudante consiga traduzir uma situação em equações lineares, reconhecer as incógnitas e interpretar os coeficientes conforme o contexto. Para resolver um sistema, pode usar substituição, adição ou comparação, desde que preserve as igualdades e confira o par obtido nas equações originais. No plano cartesiano, cada equação de primeiro grau com duas variáveis representa uma reta; quando duas retas se cruzam em um único ponto, as coordenadas desse ponto constituem a solução comum. Também é importante distinguir uma relação linear de uma proporcionalidade direta: uma reta só representa proporcionalidade direta quando passa pela origem. Ao alternar entre tabela, expressão algébrica e gráfico, o aluno pode verificar se a solução faz sentido e explicar o significado das coordenadas. Em problemas contextualizados, essa interpretação inclui conferir unidades, restrições e se os valores encontrados atendem simultaneamente a todas as condições dadas.

O que ele precisa saber antes

Antes de resolver sistemas, vale retomar equações do primeiro grau, operações com números e propriedades da igualdade. Os itens também convocam conhecimentos de plano cartesiano, coordenadas, coeficiente angular e representação gráfica de funções afins. Quando a questão parte de uma situação, a turma precisa definir o que cada variável representa e organizar os dados em expressões antes de calcular.

Alguns itens do conjunto exigem outros pré-requisitos: a questão do perímetro mobiliza a fórmula do retângulo e a leitura de uma função afim; as questões do arco pedem resolução de equação quadrática; as de malhas quadradas envolvem área e interpretação de padrão; e a cobertura triangular requer identificar catetos e hipotenusa. São retomadas pertinentes em Matemática, mas não substituem exercícios específicos de sistemas lineares.

Onde os alunos mais erram

Nas questões diretamente ligadas a retas e sistemas, um deslize recorrente é determinar a inclinação usando as variações na ordem invertida ou calcular a inclinação corretamente, mas esquecer o termo independente. A questão do drone deixa esse raciocínio visível: usar apenas a variação vertical não basta; a expressão precisa passar pelos dois pontos. Outro cuidado é não validar uma distribuição usando somente uma das condições. Na questão das jornadas, uma alternativa pode totalizar 30 e até conferir um indicador, mas ainda falhar no segundo. A solução tem de satisfazer o sistema inteiro.

Na representação gráfica, alguns estudantes confundem interseção com proporcionalidade. Duas retas podem se cruzar sem que representem uma relação de proporcionalidade direta; para isso, a reta precisa passar pela origem. Também é comum confundir o perímetro total com a soma simples das dimensões. Nas demais questões, os distratores mostram erros próprios de outros conteúdos: esquecer de subtrair áreas, usar apenas metade da distância entre raízes, somar os catetos em vez de aplicar Pitágoras ou tratar crescimento quadrático como linear. Eu separaria esses diagnósticos para não atribuí-los indevidamente ao estudo de sistemas.

Como trabalhar em sala

• Partir de duas condições: proponha um contexto simples com duas quantidades desconhecidas e dois totais. A turma define as variáveis, escreve as equações e explica o que cada linha representa antes de escolher um método de resolução.
• Resolver e conferir: peça que cada dupla resolva por um método e substitua o resultado nas duas equações. A conferência mostra por que satisfazer apenas uma condição não é suficiente.
• Passar da equação ao gráfico: organize alguns pares ordenados de uma equação, marque-os no plano cartesiano e trace a reta. Repita com a segunda equação e compare o ponto de interseção com a solução algébrica.
• Comparar estratégias: para sistemas pequenos, convide a turma a usar substituição e adição. Em seguida, discutam qual método tornou os cálculos mais claros e por quê, sem transformar uma estratégia em regra única.
• Classificar os itens: ao usar a lista a seguir, identifique no quadro se cada questão avalia sistema linear, função afim, função quadrática ou geometria. Assim, os alunos reconhecem conexões entre representações sem perder de vista o objetivo de cada item.

Questões prontas de Sistema de equações polinomiais de 1º grau: resolução algébrica e representação no plano cartesiano para a 3ª série do Ensino Médio (com gabarito comentado)

As oito questões estão reproduzidas com alternativas e justificativas. As questões 1, 3, 7 e 8 têm relação direta com retas, sistemas ou interpretação de condições lineares. As demais ampliam a revisão para outros tópicos matemáticos; essa distinção pode ajudar na montagem de uma avaliação equilibrada.

Questão 1 — Deslocamento no gráfico

No gráfico da área de cobertura do drone, os pontos A(0, 2) e B(4, 10) marcam as extremidades de um trecho reto. O eixo horizontal indica o deslocamento leste, em quilômetros, e o eixo vertical indica o deslocamento norte, também em quilômetros. Considerando o trecho reto entre A e B, qual expressão representa o deslocamento norte y em função do deslocamento leste x?

• ❌ B) y = x + 2. A inclinação não é 1: a variação vertical é 8 e a horizontal é 4.
• ❌ C) y = 2x. A inclinação está correta, mas a expressão não passa por A(0, 2).
• ❌ D) y = 2x + 10. O valor 10 é a coordenada vertical de B, não o termo independente em x = 0.
• ❌ E) y = 0,5x + 2. A divisão das variações foi invertida.
• ✅ A) y = 2x + 2. A inclinação é (10 − 2)/(4 − 0) = 2 e, como y = 2 quando x = 0, o termo independente é 2.

Comentário: É uma boa abertura para ligar dois pontos, coeficiente angular e função afim. Peça que os estudantes substituam x = 0 e x = 4 para conferir os dois extremos, em vez de aceitar a expressão apenas porque a inclinação parece correta.

Questão 2 — Trecho do arco acima do solo

O perfil de um arco, em metros, é descrito por y(x) = −0,5x² + 2x + 3. Determine o comprimento total do trecho em que o arco permanece acima do nível do solo, isto é, y ≥ 0.

• ❌ A) 3 + √10. Combina o valor do vértice com as raízes; esse cálculo não fornece o comprimento do intervalo.
• ❌ B) 4√10. Dobra indevidamente a extensão horizontal.
• ❌ D) √10. Corresponde à metade da distância entre as raízes.
• ❌ E) 4 metros. Confunde a coordenada horizontal do vértice com o comprimento pedido.
• ✅ C) 2√10. As raízes são x = 2 ± √10; a distância entre elas é (2 + √10) − (2 − √10) = 2√10.

Comentário: Este item é de função quadrática, não de sistema de equações lineares. Serve para revisar raízes e interpretação de intervalo, desde que seja identificado como conteúdo de outra natureza.

Questão 3 — Jornadas de digitalização

Durante 30 jornadas, cada pessoa ficou dedicada a textos, fotografias ou mapas. No primeiro indicador, cada jornada nessas frentes valeu, respectivamente, 3, 2 e 1 unidades, totalizando 59. No segundo, os valores foram 1, 3 e 2 pontos, totalizando 68. Qual distribuição satisfaz simultaneamente os três registros?

• ❌ A) 8 em textos, 13 em fotografias e 9 em mapas. Totaliza 30 e gera 59 no primeiro indicador, mas não 68 no segundo.
• ❌ B) 6 em textos, 17 em fotografias e 7 em mapas. Embora confira o primeiro indicador, resulta em 71 pontos no segundo.
• ❌ C) 7 em textos, 14 em fotografias e 9 em mapas. Não satisfaz os totais dos dois indicadores.
• ❌ E) 8 em textos, 15 em fotografias e 7 em mapas. Mantém 30 jornadas, mas altera os indicadores.
• ✅ D) 7 em textos, 15 em fotografias e 8 em mapas. A soma é 30; o primeiro indicador dá 21 + 30 + 8 = 59 e o segundo, 7 + 45 + 16 = 68.

Comentário: Se chamarmos de t, f e m as jornadas em cada frente, o problema forma três equações. A questão destaca a validação simultânea: uma resposta não está correta apenas por fechar o total de jornadas. Também é possível discutir que, com três incógnitas, as três condições ajudam a determinar e conferir a distribuição.

Questão 4 — Acabamento na cobertura triangular

Uma lateral triangular da cobertura de um ponto de ônibus tem catetos de 9 m e 12 m. O acabamento será instalado nas duas barras inclinadas iguais. Qual é o total necessário?

• ❌ A) 15 m. Esse é o comprimento de apenas uma barra inclinada.
• ❌ B) 18 m. Dobra a base, que não é a medida do acabamento solicitado.
• ❌ C) 24 m. Dobra a altura, sem encontrar a barra inclinada.
• ❌ E) 21 m. Soma os catetos, em vez de aplicar Pitágoras.
• ✅ D) 30 m. A hipotenusa mede √(9² + 12²) = 15 m; duas barras iguais totalizam 30 m.

Comentário: Trata-se de geometria. A alternativa A é um distrator plausível porque encontra corretamente a hipotenusa, mas não responde pelo acabamento nas duas barras. Use o item para reforçar leitura do que exatamente se pede.

Questão 5 — Aumento de área em malhas quadradas

Jardins filtrantes são ampliados em malhas quadradas de n por n módulos. Os dados do gráfico seguem a relação y = 6x², com área em metros quadrados. Qual será o aumento da área ao passar de 2 para 5 linhas?

• ❌ A) 18 m². Supõe aumento linear constante por linha, embora a relação seja quadrática.
• ❌ B) 72 m². Não corresponde à diferença entre as áreas nos dois valores.
• ❌ C) 96 m². Toma um valor intermediário como se fosse o aumento solicitado.
• ❌ D) 150 m². É a área para 5 linhas, mas falta subtrair a área inicial.
• ✅ E) 126 m². Para 5 linhas, a área é 150; para 2, é 24. A diferença é 150 − 24 = 126.

Comentário: A habilidade principal aqui envolve padrão quadrático e cálculo de área, não sistema linear. A questão permite conversar sobre a diferença entre valor final e aumento, uma leitura útil em problemas contextualizados.

Questão 6 — Número de fileiras para ocupar 50 m²

Em um estacionamento com painéis de sombra, a área total ocupada por malhas quadradas segue os dados do gráfico. A relação é y = 2x². Quantas fileiras são necessárias para ocupar 50 m²?

• ❌ A) 4 fileiras. Trata a relação como linear; substituindo 4, obtém-se 32 m².
• ❌ C) 6 fileiras. É uma etapa acima da solução exata, não o valor que produz 50 m².
• ❌ D) 10 fileiras. Usa uma razão direta que não corresponde ao padrão quadrático.
• ❌ E) 25 fileiras. Divide 50 por 2, mas não extrai a raiz quadrada.
• ✅ B) 5 fileiras. De 2n² = 50, segue n² = 25 e, considerando quantidade positiva de fileiras, n = 5.

Comentário: Este item também é de função quadrática e interpretação de padrão. Para a correção, vale pedir que os alunos substituam n = 5 na regra, conferindo que 2 · 25 = 50.

Questão 7 — Igualdade entre os preços de dois planos

Uma gráfica registrou para o Plano A os pontos (0,4), (1,6), (2,8), (3,10) e (4,12). O Plano B é y = x + 9. Em quantas impressões os preços ficam iguais?

• ❌ A) 4 impressões. Nesse valor, A custa 12 e B custa 13.
• ❌ C) 6 impressões. A custa 16 e B custa 15; os valores ainda diferem.
• ❌ D) 7 impressões. A custa 18 e B custa 16.
• ❌ E) 8 impressões. A custa 20 e B custa 17.
• ✅ B) 5 impressões. Os pontos indicam Plano A: y = 2x + 4. Igualando, 2x + 4 = x + 9, logo x = 5.

Comentário: Este é um exemplo direto de igualdade entre duas funções afins. Graficamente, a solução é a coordenada horizontal do ponto de interseção; algebricamente, aparece ao igualar as expressões. É interessante solicitar também o preço comum, que seria 14, para completar o par ordenado (5, 14).

Questão 8 — Canteiros retangulares de mesmo perímetro

Um canteiro-modelo tem 9 m de largura e 13 m de comprimento, portanto seu perímetro é 44 m. Outros canteiros retangulares manterão esse perímetro. Considere x a largura e y o comprimento, ambos positivos. Qual alternativa relaciona corretamente a função, sua representação no plano cartesiano e a proporcionalidade?

• ❌ B) y = x/22; semirreta pela origem e relação proporcional. O perímetro fixo determina uma soma, não uma razão constante entre as dimensões.
• ❌ C) y = 22/x; curva decrescente. Essa expressão transforma indevidamente uma soma constante em produto constante.
• ❌ D) y = 22 + x. Como x + y = 22, é necessário subtrair x, não somá-lo.
• ❌ E) y = 44 − x; segmento entre (0,44) e (44,0). O perímetro é 2x + 2y, então a soma das dimensões é 22, não 44.
• ✅ A) y = 22 − x; segmento entre (0,22) e (22,0), sem incluir as extremidades; não é proporcional. De 2x + 2y = 44, obtemos x + y = 22. Como ambas as dimensões são positivas, os extremos ficam excluídos; a reta não passa pela origem.

Comentário: A questão combina uma relação linear e sua representação, além de distinguir função afim de proporcionalidade direta. A restrição x > 0 e y > 0 é essencial para escolher o segmento aberto nas extremidades, em vez de considerar todos os pontos da reta.

Próximos passos

Depois da resolução, eu pediria uma justificativa curta para cada resposta: qual equação foi montada, qual estratégia foi usada e como o resultado foi conferido. Para aprofundar a relação entre expressão e gráfico, consulte também as questões da habilidade EM13MAT401, as questões da habilidade EM13MAT402, as questões da habilidade EM13MAT301 e as questões da habilidade EM13MAT308. Você pode organizar uma avaliação no gerador de provas do GeraProva e criar uma conta pelo cadastro grátis.

Use as questões como ponto de partida e ajuste a seleção ao que sua turma já estudou. O GeraProva pode ajudar a montar e organizar atividades, mas a escolha final do que avaliar continua sendo sua.