Nos Elementos, obra de Euclides, a Proposição 47 enuncia uma relação entre as áreas dos quadrados construídos…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Nos Elementos, obra de Euclides, a Proposição 47 enuncia uma relação entre as áreas dos quadrados construídos sobre os três lados de um triângulo retângulo. A proposição é conhecida como teorema de Pitágoras. Considere um triângulo retângulo cujos catetos medem a e b e cuja hipotenusa mede c. Uma construção reúne o quadrado sobre a hipotenusa e quatro cópias do triângulo. Outra reúne os quadrados sobre os dois catetos e as mesmas quatro cópias do triângulo. As duas construções formam quadrados maiores de mesma área. EUCLIDES. Os Elementos. Proposição 47 do Livro I. Referência à obra original, adaptada. Compare as duas construções descritas. Que relação entre as áreas dos quadrados construídos sobre os lados do triângulo pode ser concluída, e como ela justifica o teorema de Pitágoras?
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
As duas construções têm a mesma área total. Na que contém o quadrado sobre a hipotenusa, essa área é c²; na que contém os quadrados sobre os catetos, é a² + b². Logo, c² = a² + b².
Explicação
Como as construções representam o mesmo quadrado e usam as mesmas peças triangulares, as áreas que restam nas regiões quadradas são iguais. Assim, a área do quadrado sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados sobre os catetos.
Raio-X da questão
Relação entre as áreas dos quadrados dos lados de um triângulo retângulo: a² + b² = c².
fixacao
Identificação dos catetos e da hipotenusa em um triângulo retângulo. · Área do quadrado e área do triângulo.
Demonstração por equivalência de áreas do teorema de Pitágoras.
Não perceber que as quatro cópias dos triângulos têm a mesma área nas duas construções.
História da matemática
historico
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