Ao preparar uma tiragem de folhetos, uma gráfica estima o custo total C(x), em milhares de reais, por C(x) =…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Ao preparar uma tiragem de folhetos, uma gráfica estima o custo total C(x), em milhares de reais, por C(x) = 0,1x^2 + 2x + 20, em que x é a quantidade produzida, em milhares de exemplares. A receita prevista é R(x) = 6x, também em milhares de reais. Por limitações do equipamento, cada lote pode ter no máximo 30 mil exemplares. Com base nos modelos apresentados, para quais quantidades de exemplares a gráfica obtém lucro, considerando a capacidade máxima do equipamento?
- A) 20 - 15 < x <= 30, com x medido em milhares de exemplares
- B) 40 - 20 raiz quadrada de 2 < x <= 30, com x em milhares de exemplares
- C) 20 - 10 raiz quadrada de 3 < x <= 30, com x em milhares de exemplares
- D) 20 - 10 raiz quadrada de 2 < x <= 30, com x em milhares de exemplares
- E) 25 - 5 raiz quadrada de 17 < x <= 30, com x em milhares de exemplares
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Há lucro quando a receita supera o custo: R(x) > C(x). Assim, 6x > 0,1x² + 2x + 20.
- Rearranjando, 0,1x² − 4x + 20 < 0. Multiplicando por 10: x² − 40x + 200 < 0.
- As raízes são x = (40 ± raiz de 800)/2 = 20 ± 10 raiz de 2. Como a parábola abre para cima, a desigualdade é satisfeita entre as raízes. Considerando também 0 ≤ x ≤ 30, resulta 20 − 10 raiz de 2 < x ≤ 30, alternativa D.
- A e C usam raízes incorretas; B resulta de uma resolução algébrica incorreta; E não corresponde às raízes da equação de lucro. O limite de 30 mil exemplares corta o intervalo superior de lucro.
💡 Dica: Resolva R(x)>C(x) e intersecte o intervalo de lucro com 0<x<=30.
Alternativa por alternativa
O aluno pode ter calculado ou fatorado incorretamente a equação de equilíbrio e obtido limites inteiros que não são suas raízes. O limite de capacidade está correto, mas o ponto de equilíbrio inferior não.
O aluno pode ter aplicado incorretamente a fórmula das raízes, alterando os termos resultantes do discriminante. A desigualdade correta tem raízes 20 ± 10 raiz de 2.
O aluno pode ter cometido erro ao calcular o discriminante ou simplificar sua raiz, chegando a 10 raiz de 3 em vez de 10 raiz de 2.
Por que engana: Igualar receita e custo e incluir o ponto de equilíbrio como se houvesse lucro.
Há lucro quando R(x) - C(x) > 0, isto é, -0,1x^2 + 4x - 20 > 0. As raízes são 20 - 10 raiz quadrada de 2 e 20 + 10 raiz quadrada de 2, e a expressão é positiva entre elas. Como a produção não pode ultrapassar 30 mil exemplares, o intervalo deve ser limitado a x <= 30.
O aluno pode ter usado uma equação de equilíbrio diferente ou manipulado incorretamente seus coeficientes, pois 25 − 5 raiz de 17 não é a raiz inferior de x² − 40x + 200 = 0.
Raio-X da questão
Lucro como diferença entre receita e custo, modelada por uma inequação quadrática.
avaliacao
Substituição e manipulação de expressões algébricas. · Resolução de equações quadráticas e análise de sinais.
Inequações quadráticas e raízes de funções polinomiais.
Igualar receita e custo e incluir o ponto de equilíbrio como se houvesse lucro.
cotidiano
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