Na preparação de alegorias para um desfile, uma escola de samba avalia dois projetos de painéis retangulares…

Questão

Na preparação de alegorias para um desfile, uma escola de samba avalia dois projetos de painéis retangulares. Em cada projeto, x representa uma medida positiva, em metros, que deve satisfazer a relação definida pelo projeto. Para o projeto A, a relação é x^2 - 7x + 10 = 0; para o projeto B, é x^2 - 8x + 16 = 0. Comparando as soluções reais positivas das duas equações, qual conclusão descreve corretamente as medidas possíveis para cada projeto?

1. A) O projeto A admite as medidas de 2 m e 5 m, enquanto o projeto B admite apenas a medida de 4 m.
2. B) O projeto A admite as medidas de 1 m e 6 m, enquanto o projeto B admite a medida de 4 m.
3. C) O projeto A admite as medidas de 1 m e 6 m, enquanto o projeto B admite a medida de 6 m.
4. D) O projeto A admite as medidas de 3 m e 4 m, enquanto o projeto B admite a medida de 8 m.
5. E) O projeto A admite as medidas de 2 m e 7 m, enquanto o projeto B admite a medida de 9 m.

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Resolver a equação do projeto A, x^2 - 7x + 10 = 0. Procuramos dois números cuja soma seja 7 e cujo produto seja 10. Esses números são 2 e 5, pois 2 + 5 = 7 e 2 x 5 = 10. Logo, x = 2 ou x = 5, e ambas são positivas.
2. Resolver a equação do projeto B, x^2 - 8x + 16 = 0. Essa expressão é um trinômio quadrado perfeito, pois (x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16. Assim, x - 4 = 0, o que dá x = 4, uma única solução real positiva (raiz dupla).
3. Comparar com as alternativas. A alternativa A descreve exatamente o projeto A com medidas 2 m e 5 m, e o projeto B com apenas 4 m, o que confere com as raízes encontradas.
4. Verificar as alternativas erradas. A alternativa B erra as raízes do projeto A, pois 1 e 6 têm soma 7 mas produto 6, não 10. A alternativa C erra nas duas equações, pois 1 e 6 não são raízes de A e 6 não é raiz de B. A alternativa D erra as raízes do projeto A, pois 3 e 4 têm soma 7 mas produto 12, e também erra a raiz de B, que não é 8. A alternativa E erra as raízes do projeto A, pois 2 e 7 têm soma 9, e a raiz de B também não é 9.
5. Conclusão. O gabarito oficial A está correto.

💡 Dica: Fatore cada equação pelo produto e soma das raízes; em B, observe o trinômio quadrado perfeito.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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