Uma academia de bairro planeja uma área retangular para alongamento, com perímetro de 20 m. Se x representa…

Questão

Uma academia de bairro planeja uma área retangular para alongamento, com perímetro de 20 m. Se x representa uma das dimensões, a outra mede 10 - x. Para uma área de 21 m², a condição é x(10 - x) = 21, equivalente a x² - 10x + 21 = 0. A administração considera ampliar a área para 25 m², mantendo o mesmo perímetro. Considerando a mudança da área planejada para 25 m², qual efeito essa alteração produz nas soluções reais da equação que determina x?

1. A) A equação passa a ser x² - 10x + 21 = 0, com duas soluções reais, x = 3 m e x = 7 m.
2. B) A equação passa a ser x² - 10x + 26 = 0, sem soluções reais, pois o discriminante é negativo.
3. C) A equação passa a ser x² - 10x + 25 = 0, com uma única solução real, x = 5 m, que é uma raiz dupla.
4. D) A equação passa a ser x² - 10x + 24 = 0, com duas soluções reais, x = 4 m e x = 6 m.
5. E) A equação passa a ser x² - 10x + 16 = 0, com duas soluções reais, x = 2 m e x = 8 m.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. A área é x(10 - x) = 25, o que resulta em 10x - x² = 25, ou seja, x² - 10x + 25 = 0. Essa é a equação correta para a nova área de 25 m².
2. Calcule o discriminante: Δ = b² - 4ac = (-10)² - 4·1·25 = 100 - 100 = 0.
3. Como Δ = 0, a equação tem uma única solução real, uma raiz dupla: x = -b/(2a) = 10/2 = 5 m. Isso significa que as duas dimensões são iguais a 5 m, ou seja, a área é um quadrado de lado 5 m, com área 25 m² e perímetro 20 m.
4. Verificação: 5(10 - 5) = 5·5 = 25, que confirma a solução.
5. Por que as outras estão erradas. A: a equação x² - 10x + 21 = 0 corresponde à área de 21 m², não de 25 m². B: o coeficiente independente 26 está errado, pois a área 25 leva a termo independente 25, e o discriminante seria 100 - 104 = -4, o que não corresponde à situação. D: x² - 10x + 24 = 0 corresponde à área de 24 m² e não à de 25 m². E: x² - 10x + 16 = 0 corresponde à área de 16 m², não à de 25 m².
6. Observação: a alteração da área para 25 m² faz o discriminante passar de 16 (para 21) a zero, de modo que as duas soluções reais se fundem em uma única, a raiz dupla x = 5 m, o que indica que essa é a área máxima possível com perímetro 20 m.

💡 Dica: Calcule o discriminante delta = b² - 4ac da nova equação; delta = 0 indica raiz dupla.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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