Em um campeonato de games, duas equipes acumulam pontos ao longo das rodadas. A equipe Vórtice começa com 26…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um campeonato de games, duas equipes acumulam pontos ao longo das rodadas. A equipe Vórtice começa com 26 pontos e recebe 8 pontos por rodada. A equipe Prisma começa com 74 pontos e recebe 5 pontos por rodada. O campeonato terá 20 rodadas, e não há bônus nem descontos. Em quais rodadas, entre a 1ª e a 20ª, a equipe Vórtice terá mais pontos que a equipe Prisma?
- A) Da 17ª à 20ª rodada
- B) Da 17ª à 19ª rodada
- C) Da 18ª à 20ª rodada
- D) Da 16ª à 20ª rodada
- E) Da 1ª à 16ª rodada
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- DISCORDANCIA.CORRETA:D Passo 1: Modele a pontuação de cada equipe após n rodadas. Vórtice: 26 + 8n. Prisma: 74 + 5n.
- Imponha a condição de Vórtice ter mais pontos que Prisma: 26 + 8n > 74 + 5n.
- Isole n. Subtraindo 5n dos dois lados: 26 + 3n > 74. Subtraindo 26: 3n > 48. Dividindo por 3: n > 16.
- Interprete o resultado. Vórtice fica na frente a partir de n maior que 16, ou seja, n = 17, 18, 19 e 20. Mas atenção: n é o número de rodadas já disputadas, e a pergunta pede a rodada em que a equipe está com mais pontos. Ao final da 16ª rodada, as pontuações são 26 + 128 = 154 para Vórtice e 74 + 80 = 154 para Prisma, empatadas. Logo, a partir da 16ª rodada (quando Vórtice ultrapassa Prisma após somar os pontos dela) já há liderança? Verifique: na 16ª rodada, Vórtice tem 154 e Prisma 154, portanto não há vantagem. Na 17ª, Vórtice tem 162 e Prisma 159, então Vórtice está à frente.
- Conclusão. Vórtice tem mais pontos ao final da 17ª, 18ª, 19ª e 20ª rodadas, ou seja, da 17ª à 20ª. Isso corresponde à alternativa A, que é o gabarito oficial.
- Análise das demais. A alternativa B omite a 20ª rodada, em que Vórtice ainda lidera (186 contra 174). A alternativa C omite a 17ª, em que Vórtice já lidera. A alternativa D inclui a 16ª, em que há empate (154 a 154), não vantagem. A alternativa E inclui rodadas em que Prisma lidera.
- Observação: a resolução independente confirma a alternativa A como correta, concordando com o gabarito oficial. Letra correta pela análise: A.
Alternativa por alternativa
Após n rodadas, as pontuações são 26 + 8n e 74 + 5n. Para a Vórtice ter mais pontos, é preciso que 26 + 8n > 74 + 5n, o que resulta em n > 16. Considerando rodadas inteiras até a 20ª, isso ocorre da 17ª à 20ª.
Encontra corretamente n>16, mas considera que o campeonato termina uma rodada antes, usando 20-1=19 como última rodada. O texto informa que haverá 20 rodadas.
Calcula 74-26=48 e 8-5=3, mas arredonda 48/3=16 para 17 e só considera a rodada seguinte, iniciando na 18ª. O primeiro número inteiro que satisfaz n>16 é 17.
Resolve a igualdade 26+8n=74+5n, obtendo 3n=48 e n=16, mas inclui essa rodada como se os pontos fossem maiores. Na 16ª rodada, as duas equipes têm 154 pontos.
Compara as pontuações e considera o período em que a Prisma ainda está à frente: em 16 rodadas, Vórtice tem 154 pontos e Prisma tem 154 pontos. A conclusão erra ao atribuir à Vórtice a liderança antes de ela superar a Prisma.
Raio-X da questão
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