Em uma exposição interativa de arte, duas projeções circulares mostram arcos destacados em círculos…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma exposição interativa de arte, duas projeções circulares mostram arcos destacados em círculos diferentes. Na primeira projeção, a circunferência mede 240 m e o arco destacado mede 60 m. Na segunda, a circunferência mede 320 m e o arco destacado mede 100 m. Em cada círculo, um observador situado sobre a circunferência vê o arco destacado, e o ângulo inscrito considerado intercepta esse mesmo arco. Considere que a medida do ângulo central correspondente ao arco é proporcional à fração que o arco representa da circunferência completa. Qual é a diferença entre as medidas dos ângulos inscritos correspondentes aos arcos destacados, indicando em qual projeção o ângulo é maior?
- A) O ângulo inscrito da segunda projeção é 22,5° maior que o da primeira.
- B) O ângulo inscrito da segunda projeção é 9° maior que o da primeira.
- C) O ângulo inscrito da segunda projeção é 67,5° maior que o da primeira.
- D) O ângulo inscrito da primeira projeção é 33,75° maior que o da segunda.
- E) O ângulo inscrito da segunda projeção é 11,25° maior que o da primeira.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Na primeira projeção, o arco de 60 m está numa circunferência de 240 m, logo ele é 60/240 = 1/4 da circunferência. O ângulo central correspondente é 1/4 de 360° = 90°. Passo 2: O ângulo inscrito que enxerga o mesmo arco vale a metade do ângulo central, ou seja, 90°/2 = 45°. Passo 3: Na segunda projeção, o arco de 100 m está numa circunferência de 320 m, logo ele é 100/320 = 5/16 da circunferência. O ângulo central correspondente é 5/16 de 360° = 112,5°. Passo 4: O ângulo inscrito é 112,5°/2 = 56,25°. Passo 5: A diferença é 56,25° − 45° = 11,25°, e o maior ângulo inscrito está na segunda projeção. Passo 6: Conclusão: a alternativa E está correta e coincide com o gabarito oficial. A alternativa A está errada porque 22,5° é a diferença entre os ângulos centrais, não entre os inscritos. A alternativa B está errada porque 9° resulta de uma aproximação indevida de 100/320 para 0,3 (que daria 54° e diferença de 9°). A alternativa C está errada porque 67,5° é a diferença entre o ângulo central da segunda projeção e o inscrito da primeira, misturando conceitos. A alternativa D está errada porque inverte qual projeção tem o maior ângulo inscrito, já que a segunda é a maior.
💡 Dica: Calcule a fração do arco em cada circunferência, encontre o ângulo central e tome sua metade.
Alternativa por alternativa
O aluno calcula a diferença entre os ângulos centrais (112,5° − 90° = 22,5°) e esquece que o ângulo inscrito é a metade do central.
Por que engana: Usar o ângulo central como se fosse o ângulo inscrito, esquecendo de dividir por dois.
O aluno arredonda 100/320 para 0,3 em vez de usar a fração exata 5/16, obtendo 54° para o ângulo central e uma diferença incorreta de 9° no inscrito.
O aluno compara o ângulo central da segunda projeção (112,5°) com o ângulo inscrito da primeira (45°), misturando ângulo central e ângulo inscrito.
O aluno inverte a comparação, afirmando que a primeira projeção tem o maior ângulo inscrito, e obtém um valor sem base na conta correta (a diferença real é 11,25°).
Na primeira projeção, o arco representa 60/240 da circunferência, então o ângulo central mede 90° e o inscrito mede 45°. Na segunda, 100/320 da circunferência corresponde a 112,5° no centro e a 56,25° na circunferência. A diferença é 56,25° - 45° = 11,25°.
Raio-X da questão
Relação entre ângulo inscrito e ângulo central que interceptam o mesmo arco.
fixacao
Proporção entre comprimento de arco e circunferência completa. · Ângulo inscrito mede metade do ângulo central correspondente.
Medida angular proporcional à fração da circunferência percorrida pelo arco.
Usar o ângulo central como se fosse o ângulo inscrito, esquecendo de dividir por dois.
abstrato
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