Uma estudante formulou a conjectura de que, para todo número real x, vale a igualdade (x + 2)^3 - (x - 2)^3 =…

Questão

Uma estudante formulou a conjectura de que, para todo número real x, vale a igualdade (x + 2)^3 - (x - 2)^3 = 12x^2 + 16. Avalie essa conjectura e justifique sua conclusão por meio de transformações algébricas.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

A conjectura é verdadeira. Desenvolvendo os cubos, (x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 e (x - 2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8. Assim, (x + 2)^3 - (x - 2)^3 = (x^3 + 6x^2 + 12x + 8) - (x^3 - 6x^2 + 12x - 8) = 12x^2 + 16. Logo, a igualdade vale para todo número real x.

Explicação

A expansão algébrica mostra que os termos x^3 e 12x se anulam, restando exatamente 12x^2 + 16. Portanto, não basta verificar alguns valores de x: a transformação comprova a igualdade geral.

Raio-X da questão

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